Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2013 - 02:17

*
Najwyższa ocena

Całkowanie przez podstawienie wykorzystujemy gdy funkcja podcałkowa jest funkcją złożoną oraz w przypadku pewnych specyficznych funkcji w celu ułatwienia sobie całkowania. Jednak chyba najczęstszym zostawaniem całkowanie przez podstawienie jest sytuacja gdy wyrażenie podcałkowe jest iloczynem pewnej funkcji i pochodnej tej funkcji (lub prawie pochodnej tej funkcji).

 

Założenia:

- Niech g(x) jest różniczkowalna w przedziale D

- Niech przedział K =g(D)

- Niech funkcja f(x) ma pierwotną w przedziale K. Czyli, że istnieje taka funkcja F'(v)=f(v),  gdzie v \in K

- Oraz niech h(x)=f(g(x))\cdot g'(x) dla x\in D wtedy:

 

\int h(x)\mbox{d}x=\int f(g(x))\cdot g'(x)\mbox{d}x = F(g(x))+C= H(x)+C

 

Wiem zagmatwane trochę, ale to teoria. Dodam jeszcze, że \int f(g(x))\cdot g'(x)dx można zamienić na \int f(g(x)) dg(x).

 

Może zatem zanim przejdziemy do dowodu zaczepimy o pochodną funkcji złożonej ściśle związanej z omawianą całką.

 

Jak pamiętamy pochodna funkcji to granica pewnego ilorazu różnicowego:

 

\re\fbox{f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

 

Jeśli y=f(g(x))   oraz   u=g(x)  to:

 

\(f(g(x))\)'=\frac{d f(g(x))}{dx}=\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}= \lim_{h\to 0} \frac{f( g(x+h)-f(g(x)}{h}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f' \( g(x)\) \cdot g'(x)

 

\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}   to tak zwana reguła łańcuchowa w notacji Leibniza - to tak na marginesie.

 

Reasumując

 

Jeśli \re\fbox{y(x)=f(g(x))\Rightarrow y'(x)=f' \( g(x)\) \cdot g'(x)}

 

                                                To teraz dowód całkowania przez podstawienie

 

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f. Jeśli funkcję F złożymy z funkcją g to jest, gdy h(x)=F(g(x)) to zgodnie z definicją pochodnej funkcji złożonej mamy

 

h'(x)=(F(g(x))'=F'(g(x)\cdot g'(x)=f(g(x)\cdot g'(x)

 

Jeśli teraz obłożymy to całką dostaniemy (analizując od końca)

 

\int h(x)dx=\int f(g(x))\cdot g'(x) dx=\int F'(g(x))\cdot g'(x) dx=\int (F(g(x)))'dx=F(g(x))+C

 

Czyli:

 

\bl\fbox{\int h(x)\mbox{d}x=\int f(g(x))\cdot g'(x)\mbox{d}x = F(g(x))+C= H(x)+C}

 

W praktyce robi się to np. tak:

 

Przykład 1

 

\int \sin(2x+3)dx  Widzimy ze funkcja sinus jest złożona z funkcją 2x+3, jeśli spojrzymy na wzór \int f(g(x))\cdot g'(x)dx zauważymy ze brakuje nam pochodnej funkcji wewnętrznej czyli (2x+3)'=2. Możemy pomnożyć funkcję podcałkową przez liczbę, pamiętając że trzeba całą całkę przez tą liczbę podzielić aby zachować róność

 

\int \sin(2x+3)dx =\frac{1}{2}\int 2\sin(2x+3)dx Teraz mamy przygotowaną całkę do podstawienia:

 

t=2x+3    więc dt=2dx zatem:

 

\frac{1}{2}\int 2\sin(2x+3)dx =\frac{1}{2}\int \sin(t)dt=-\frac{1}{2}\cos(t)+C= -\frac{1}{2} \cos(2x+3)+C

 

Przykład 2

 

\int \tan(x)dx Od razu ciężko stwierdzić jak obliczyć taką całkę. Właściwie nie ma tu złożenia, nie ma iloczynu funkcji, ale przypomnijmy, że \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

 

\int \tan(x)dx=\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx teraz podstawiamy t=cos(x) dt=-sin(x) więc \int \tan(x)dx=\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\int \frac{dt}{t}=-\ln|t|=-\ln|\cos(x)|+C

 

Przykład 3

 

Na koniec może ciekawy przykład w którym możemy zastosować trzy różne podstawienia i finalnie uzyskać trzy "różne" funkcje.

 

1. \int \sin(x)\cdot \cos(x) dx  podstawiając t=sin(x) dt=cos(x)dx mamy \int \sin(x)\cdot \cos(x) dx=\int t\cdot dt=\frac{1}{2} t^2+C=\frac{1}{2} \sin^2(x)+C

 

2. \int \sin(x)\cdot \cos(x) dx  podstawiając t=cos(x) dt=-sin(x)dx mamy \int \sin(x)\cdot \cos(x) dx=-\int t\cdot dt=-\frac{1}{2} t^2+D=-\frac{1}{2} \cos^2(x)+D

 

3. \int \sin(x)\cdot \cos(x) dx pamiętając że \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) mamy \int \sin(x)\cdot \cos(x) dx= \frac{1}{2}\int \sin(2x) dx teraz podstawiając t=2x dt=2dx  dx=\frac{1}{2}dt mamy: \frac{1}{2}\int \sin(2x) dx=\frac{1}{4}\int \sin(t)dt=-\frac{1}{4}cos(t)+E=-\frac{1}{4}\cos(2x)+E

 

To oczywiście złudzenie, że funkcję są różne. Dzięki wzorom trygonometrycznym można dowieść że różnią się tylko o stałą, a pamiętajmy, że całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych (różniąca się o stałą).


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55