Zacznijmy może od tego, że pochodna to miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów albo jak to się zwykło mówić granica pewnego ilorazu różnicowego;
Dowiemy się dzięki temu jak zmieni się wartość funkcji jeśli argument zmieni się nieznacznie (przyrost ).
Dla iloczynu funkcji mamy:
Reasumując:
Wzór ten będzie punktem wyjścia do wyznaczenia wzoru na całkę iloczynu funkcji, lub jak kto woli wzoru do całkowania przez części - jednej z podstawowych metod całkowania.
Mamy zatem:
Całkując obustronnie otrzymamy:
A ponieważ dostajemy:
Zazwyczaj jednak pod całką mamy formę:
to jest nie widzimy tam pochodnej więc takową musimy tam wstawić wykonując obliczenia na boku (Jedną z funkcji oznaczamy jako pochodną innej funkcji i obliczamy jej funkcję pierwotną) np. funkcję h(x) oznaczę jako pochodną pewnej funkcji g(x) i mamy, co potrzeba. W praktyce robi się to następująco:
Wypisujemy jakie funkcję mamy w następujący sposób:
[1]=f(x) [2]=h(x)=g'(x)
[3]=f'(x) [4]=g(x) w punkcie [3] obliczamy pochodną funkcji f(x), a w punkcie [4] niejako całkę funkcji h(x)
Wynikiem jest:
Dwa przydane przykłady:
[1]=f(x)=x^2 [2]=h(x)=g'(x)=e^2
[3]=f'(x)=2x [4]=g(x)=e^2
[1]=x [2]=e^2
[3]=1 [4]=e^2
[1]=f(x)=cos(x) [2]=g'(x)=e^2
[3]=f'(x)=-sin(x) [4]=g(x)=e^2
[1]=sin(x) [2]=e^2
[3]=cos(x) [4]=e^2
czyli: