Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka - wyprowadzenie wzorów (1)

Całka Całka przez części Pochodna iloczynu Pochodna rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.11.2013 - 11:39

*
Najwyższa ocena

Zacznijmy może od tego, że pochodna to miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów albo jak to się zwykło mówić granica pewnego ilorazu różnicowego;

 

\bl\fbox{\left( f \left( x \right)\right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right)-f \left( x \right)}{h}}

 

Dowiemy się dzięki temu jak zmieni się wartość funkcji jeśli argument zmieni się nieznacznie (przyrost h \to0).

 

Dla iloczynu funkcji mamy:

 

\left( f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) }{h}= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) +f \left( x \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) }{h}= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x \right) \left( g \left( x+h \right) -g \left( x \right) \right) +g \left( x+h \right) \left( f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}+g \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

Reasumując:

 

\bl\fbox{\(f(x)g(x)\)'=f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)}

 

Wzór ten będzie punktem wyjścia do wyznaczenia wzoru na całkę iloczynu funkcji, lub jak kto woli wzoru do całkowania przez części - jednej z podstawowych metod całkowania.

 

Mamy zatem:

 

\(f(x)g(x)\)'=f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right)=\(f(x)g(x)\)' -f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

Całkując obustronnie otrzymamy:

 

\int f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) dx=\int \(f(x)g(x)\)'dx -\int f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)dx

 

A ponieważ \int \(h(x)\)'dx=h(x) dostajemy:

 

\re\fbox{\int f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) dx=f(x)g(x)\) -\int f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)dx}

 

Zazwyczaj jednak pod całką mamy formę:

\int f \left(x \right) \cdot h\left( x \right) dx

to jest nie  widzimy tam pochodnej więc takową musimy tam wstawić wykonując obliczenia na boku (Jedną z funkcji oznaczamy jako pochodną innej funkcji i obliczamy jej funkcję pierwotną) np. funkcję h(x) oznaczę jako pochodną pewnej funkcji g(x) \fbox{\(h(x)=g'(x)\)} i mamy, co potrzeba. W praktyce robi się to następująco:

 

Wypisujemy jakie funkcję mamy w następujący sposób:

[1]=f(x)         [2]=h(x)=g'(x)

[3]=f'(x)        [4]=g(x)                   w punkcie [3] obliczamy pochodną funkcji f(x), a w punkcie [4] niejako całkę funkcji h(x)

 

Wynikiem jest:

\int [1][2]=[1][4]-\int[3][4]

 

 

 

Dwa przydane przykłady:

 

\re{1)}

\int x^2\cdot e^x dx=

 

[1]=f(x)=x^2         [2]=h(x)=g'(x)=e^2
[3]=f'(x)=2x        [4]=g(x)=e^2

 

 

\int x^2\cdot e^x dx=x^2\cdot e^x-2\int x\cdot e^2 dx=

 

[1]=x         [2]=e^2   
[3]=1        [4]=e^2

 

\int x^2\cdot e^x dx=x^2\cdot e^x-2\int x\cdot e^2 dx=x^2\cdot e^x-2\(x\cdot e^x-\int e^x dx\)=x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2e^x +C

 

 

\re{2)}

\int e^x\cdot \cos(x) dx=

 

[1]=f(x)=cos(x)         [2]=g'(x)=e^2
[3]=f'(x)=-sin(x)        [4]=g(x)=e^2

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x-(-\int sin(x)\cdot e^x dx)=\cos(x)\cdot e^x+\int sin(x)\cdot e^x dx)

 

[1]=sin(x)         [2]=e^2
[3]=cos(x)        [4]=e^2

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x+\int sin(x)\cdot e^x dx)=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int e^x \cdot \cos(x) dx

 

czyli:

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int e^x \cdot \cos(x) dx

 

2\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\frac{1}{2}\cdot \(\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x\)=\frac{1}{2}e^x\cdot \(\cos(x)+\sin(x)\)


  • 6

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 846 postów
387
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.08.2015 - 18:20

*
Najwyższa ocena

Jednym z zastosowań całkowania przez części jest wyprowadzenie wzorów rekurencyjnych

 

<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=\int{\sin{x}\cdot\sin^{n-1}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}-\int{\left(\left(-cos{x}\right)\left(n-1\right)\sin^{n-2}{x}\cos{x}\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\left(n-1\right)\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\n\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int{\sin^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=-\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+I_{n}\\<br>\\I_{n-2}=\frac{1}{n-1}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n}{n-1}I_{n}\\<br>\\n-2=-k\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{-k+1}\cos{x}\sin^{-k+1}{x}+\frac{-k+2}{-k+1}I_{-k+2}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{\cos{x}}{\sin^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\sin{x}}}=\int{\frac{\sin{x}}{\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\sin{x}}{1-\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}=\int{\frac{\sin{x}}{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\int{\frac{\sin{x}\left(1+\cos{x}+1-\cos{x}\right)}{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\sin{x}}{1-\cos{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\ln{\left|1-\cos{x}\right|}-\ln{\left|1+\cos{x}\right|}\right)+C\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=\cos{\left(x\right)}+C\\<br><br>\\\fbox{<br>\\I_{n}=-\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{\cos{x}}{\sin^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=-\cos{\left(x\right)}+C\\<br>\\}<br><br>\\
 

<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\int{\cos{x}\cos^{n-1}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}-\int{\cos{x}\left(\left(n-1\right)\cos^{n-2}{x}\left(-\sin{x}\right)\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\sin^{2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\left(\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\left(n-1\right)\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\n\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\\frac{n-1}{n}I_{n-2}=-\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+I_{n}\\<br>\\I_{n-2}=-\frac{1}{n-1}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n}{n-1}I_{n}\\<br>\\n-2=-k\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{-k+1}\sin{x}\cos^{-k+1}{x}+\frac{-k+2}{-k+1}I_{-k+2}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{k-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos{x}}}=\int{\frac{\cos{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}=\int{\frac{\cos{x}}{\left(1-\sin{x}\right)\left(1+\sin{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\int{\frac{\cos{x}\left(1+\sin{x}+1-\sin{x}\right)}{\left(1-\sin{x}\right)\left(1+\sin{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\cos{x}}{1+\sin{x}}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\ln{\left|1+\sin{x}\right|}-\ln{\left|1-\sin{x}\right|}\right)+C\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{\cos{x}}\right|}+C\\<br><br>\\\fbox{<br>\\I_{n}=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{k-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{\cos{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=\sin{\left(x\right)}+C\\<br>\\}<br><br>\\

 

<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\int{\tan^{n-2}{x}\left(\sec^{2}{x}-1\right)\mbox{d}x}=\int{\tan^{n-2}{x}\sec^{2}{x}}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-2}{x}\tan{x}-\int{\tan{x}\left(n-2\right)\tan^{n-3}{x}\sec^{2}{x}\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n-2}{x}\sec^{2}{x}\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n-2}{x}\left(\tan^{2}{x}+1\right)\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}-\left(n-1\right)\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\left(n-1\right)\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-1\right)\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n-2}\\<br>\\I_{n-2}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n}\\<br>\\n-2=-k\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{-k+1}\tan^{-k+1}{x}-I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{1}{\tan^{k-1}{x}}-I_{-\left(k-2\right)}\\<br><br>\\I_{-1}=\int{\frac{1}{\tan{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{1}{\tan{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\t=\tan{x}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+\tan^{2}{x}\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+t^2\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}t}{t\left(1+t^2\right)}}=\int{\frac{1+t^2-t^2}{t\left(1+t^2\right)}\mbox{d}t}\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}t}{t\left(1+t^2\right)}}=\int{\frac{\mbox{d}t}{t}}-\int{\frac{t}{1+t^2}\mbox{d}t}\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}t}{t\left(1+t^2\right)}}=\ln{\left|t\right|}-\frac{1}{2}\ln{\left|1+t^2\right|}+C\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{1}=\int{\tan{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan{x}\mbox{d}x}\\<br>\\t=\tan{x}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+\tan^{2}{x}\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+t^2\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}\\<br>\\\int{\frac{t}{1+t^2}}=\frac{1}{2}\ln{\left|1+t^2\right|}+C\\<br>\\I_{1}=\frac{1}{2}\ln{\left|1+t^2\right|}+C\\<br><br>\\\fbox{<br>\\I_{n}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n-2}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{1}{\tan^{k-1}{x}}-I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=\frac{1}{2}\ln{\left|1+\tan^2{x}\right|}+C\\<br>\\}<br><br>\\

 

 

 

<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=\int{1\cdot\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-\int{x\cdot n\left(x^2+1\right)^{n-1}\cdot 2x\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\int{x^2\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\int{\left(\left(x^2+1\right)-1\right)\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\left(\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}-\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}+2n\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\left(2n+1\right)\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}+2n\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n}{2n+1}\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}\\<br>\\\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}=-\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+I_{n}\\<br>\\I_{n-1}=-\frac{1}{2n}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n+1}{2n}I_{n}\\<br>\\n-1=-k\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{-2k+2}x\left(x^2+1\right)^{-k+1}+\frac{-2k+3}{-2k+2}I_{-k+1}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{2k-2}\frac{x}{\left(x^2+1\right)^{k-1}}+\frac{2k-3}{2k-2}I_{-\left(k-1\right)}\\<br>\\\fbox{I_{n}=\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{2k-2}\frac{x}{\left(x^2+1\right)^{k-1}}+\frac{2k-3}{2k-2}I_{-\left(k-1\right)}\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{-1}=\arctan{\left(x\right)}+C\\}<br><br>\\


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 11.08.2015 - 10:39

  • 4

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.08.2015 - 22:25

*
Najwyższa ocena

Pomocne wzory przy rozwiązywaniu całek metodą Ostrogradskiego

 

\int \frac{dx}{(1+x^2)^k}

 

Podejście trygonometryczne

 

Robimy podstawienie   x=tg(t)                   więc            dx=\frac{1}{cos^2(t)}dt=sec^2(t)dt

 

dodatkowo zauważmy, że 1+tg^2(x)=\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)}+\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x)

 

\int \frac{dx}{(1+x^2)^k}=\int \frac{sec^2(t)dt}{\(1+tg^2(t)\)^k}=\int\frac{sec^2(t)dt}{\(sec^2(t)\)^k}=\int\frac{sec^2(t)}{sec^{2k}(t)}dt=\int sec^{2-2k}(t)dt=\int cos^{2k-2}(t) dt

 

Dla przykładu

 

\int \frac{dx}{(1+x^2)^2}  

 

Robimy podstawienie   x=tg(t)                   więc            dx=\frac{1}{cos^2(t)}dt=sec^2(t)dt

 

oraz 1+tg^2(x)=\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)}+\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x)           więc

 

\int \frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int \frac{sec^2(t)dt}{\(1+tg^2(t)\)^2}=\int\frac{sec^2(t)dt}{\(sec^2(t)\)^2}=\int\frac{sec^2(t)}{sec^{4}(t)}dt=\int sec^{-2}(t)dt=\int cos^{2}(t) dt

 

Tą całkę możemy liczyć na kilka sposobów m.in. wykorzystując wzory trygonometryczne lub wzory rekurencyjne przedstawione przez Mariusza M

 

\int cos^{2}(t) dt=\int \frac{1+\cos \left(2t\right)}{2}dt=\frac{1}{2}\left(t+\frac{\sin \left(2t\right)}{2}\right)+C

 

 

\int \frac{dx}{(1+x^2)^3}=\int \frac{sec^2(t)dt}{\(1+tg^2(t)\)^3}=\int\frac{sec^2(t)dt}{\(sec^2(t)\)^3}=\int\frac{sec^2(t)}{sec^{6}(t)}dt=\int sec^{-4}(t)dt=\int cos^{4}(t) dt

 

a \fbox{cos^4(t)=cos^3(t)\cdot cos(t)} i przez części \int cos^4(t)dt=cos^3(t)sin(t)+3\int cos^2(t)\cdot sin^2(t)dt    \fbox{cos^2(t)\cdot sin^2(t)=\frac{1}{8}\(1-cos(4t)\)}        czyli

 

\int cos^4(t)dt=cos^3(t)sin(t)+3\cdot\frac{1}{8}\(x-\frac{1}{4}sin(4t)\)+C
 

 

Inne podejście - przez części (pozorne szukanie całki o k o jeden mniejszej)

 

Przykład

 

Jeśli chcemy policzyć \int \frac{dx}{(x^2+1)^k} zaczynamy od policzenia \int \frac{dx}{(x^2+1)^{(k-1)}} przez części

 

np. \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=?

 

Obliczmy zatem \int \frac{dx}{x^2+1} ale przez części

 

f=\frac{1}{x^2+1}                             g'=1

f'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}                   g=x

 

\int \frac{dx}{x^2+1}dx=\frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx= \frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2}dx -2\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx

 

więc

 

\int \frac{dx}{x^2+1}dx=\frac{x}{x^2+1}+2\int \frac{dx}{x^2+1} -2\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx

 

przenosimy powtarzające się całki i mamy

 

2\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx=\frac{x}{x^2+1}+\int \frac{dx}{x^2+1}   (teraz już pamiętamy ile wynosi ostatnia całka)

 

\re\fbox{\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(x)+C}

 

a teraz

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^3} wykonamy analogicznym sposobem jak całkę poprzednią czyli obliczymy \int \frac{dx}{(x^2+1)^2} przez części

 

f=\frac{1}{(x^2+1)^2                             g'=1

f'=\frac{-4x}{(x^2+1)^3                             g=x

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^3} dx=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2+1}{(x^2+1)^3} dx-4\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}        czyli

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{x^2+1}{(x^2+1)^3} dx-4\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}       więc

 

4\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{(x^2+1)^2}+4\int\frac{1}{(x^2+1)^2} dx-\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+3\int\frac{dx}{4(x^2+1)^2} dx=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3}{4}\int\frac{dx}{(x^2+1)^2} dx

 

a ponieważ policzylismy już ostatnią całkę mamy

 

\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3}{4}\(\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(x)\)+C=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8} arctg(x)+C

 

\bl\fbox{\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8} arctg(x)+C}

 

Możemy tak "piąć się w górę" ze względu na k.

 

Podejście rekurencyjne

 

Sprowadźmy trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej i zastosujmy podstawienie

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(ax^2+bx+c\right)^k}}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\right)^k}}

 

=\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(a\left(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)\right)^k}}

 

=\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(a\left(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)\right)^k}}

 

=\frac{1}{a^k}\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)^k}}

 

posdtawienie x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}t\\ \mbox{d}x=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\mbox{d}t

 

\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a^{k+1}}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\left(t^2+1\right)\right)^{k}}}

 

\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a^{k+1}}\frac{2^{2k}a^{2k}}{\left(\sqrt{4ac-b^2}\right)^{2k}}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t^2+1\right)^k}}

 

=\frac{2^{2k-1}a^{k-1}}{\left(\sqrt{4ac-b^2}\right)^{2k-1}}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t^2+1\right)^k}}

 

 

\int{\frac{ \mbox{d}t }{\left( t^2+1\right)^{n} }}=\int{\frac{\left( 1+t^2\right)-t^2 }{\left( t^2+1\right)^{n} } \mbox{d}x }

 

\int{\frac{ \mbox{d}t }{\left( t^2+1\right)^{n} }}=\int{\frac{\mbox{d}t}{\left( t^2+1\right)^{n-1} }}+\int{\frac{t}{2n-2} \cdot \frac{\left( -2t\right)\left( n-1\right) }{\left( t^2+1\right)^{n} } \mbox{d}t }

 

\int{\frac{ \mbox{d}t }{\left( t^2+1\right)^{n} }}=\int{\frac{ \mbox{d}t }{\left( t^2+1\right)^{n-1} }}+\frac{1}{2n-2} \cdot \frac{t}{\left( t^2+1\right)^{n-1} } -\frac{1}{2n-2}\int{\frac{ \mbox{d}t}{\left( t^2+1\right)^{n-1} }}

 

\int{\frac{ \mbox{d}t }{\left( t^2+1\right)^{n} }}=\frac{1}{2n-2} \cdot \frac{t}{\left( t^2+1\right)^{n-1} }+\frac{2n-3}{2n-2}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t^2+1 \right)^{n-1} }}

 

 \begin{cases} I_{n}= \frac{1}{2n-2} \cdot \frac{t}{\left( t^2+1\right)^{n-1} }+\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1} \\ I_{1}=\arctan{t}+C \end{cases}

 

 

Mała ściąga

 

\re\int \frac{dx}{x^2+1}=arctg(x)+C

 

\re\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctg(x)+C

 

\re\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8} arctg(x)+C

 

\re\int \frac{dx}{(x^2+1)^4}=\frac{x}{6 \left(x^{2} + 1\right)^{3}}+ \frac{5 x}{24 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}+\frac{5 x}{16 (x^{2} + 1)}+ \frac{5}{16}arctg(x)+C

 

\re\int \frac{dx}{(x^2+1)^5}=\frac{x}{8 \left(x^{2} + 1\right)^{4}}+ \frac{7 x}{48 \left(x^2 + 1\right)^3}+ \frac{35 x}{192 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}+\frac{35 x}{128( x^{2} + 1)}+\frac{35}{128} arctg(x)+C

 

\re\int \frac{dx}{(x^2+1)^6}=\frac{x}{10 \left(x^{2} + 1\right)^{5}}+\frac{9 x}{80 \left(x^{2} + 1\right)^{4}}+ \frac{21 x}{160 \left(x^{2} + 1\right)^{3}}+ \frac{21 x}{128 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}+\frac{63 x}{256 (x^{2} + 1)}+\frac{63}{256} arctg(x)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.08.2015 - 09:41

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3348 postów
3031
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.08.2015 - 17:09

Nieco inne podejście przez części ( gdzie g'(x)=1)

 

I_n=\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}

 

całkuje funkcję o indeksie o jeden mniejszym

 

(na marginesie)

\fbox{\(\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\)'=\frac{-(n-1)(1+x^2)^{n-2}\cdot 2x}{((1+x^2)^{n-1})^2}=\frac{-(n-1)(1+x^2)^{n-1}\cdot (1+\cdot x^2)^{-1}\cdot 2x}{(1+x^2)^{n-1}\cdot (1+x^2)^{n-1}}=\frac{-(n-1)\cdot 2x}{(1+x^2)^{n-1}\cdot (1+x^2)}=-\frac{(n-1)\cdot 2x}{(1+x^2)^{n}}}

 

I_{n-1}=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{1+x^2-1}{(1+x^2)^n}dx=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}-2(n-1)\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}

 

czyli

 

I_{n-1}=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)I_{n-1}-2(n-1)I_n

 

Jak przeniesiemy dostaniemy

 

(2n-2)I_n=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}

 

czyli

 

\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{x}{(2n-2)(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int\frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską