Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka funkcji z pierwiastkiem - ciekawe podstawienie (3)

Całka Całka z pierwiastka Całka przez podstawienie rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.11.2013 - 11:50

*
Najwyższa ocena

\int \frac{dx}{x\cdot\sqrt{1+x^2}}                               x\neq 0 oczywiście

 

Podstawienie:

 

t=\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}

 

tx=\sqrt{1+x^2}-1

 

\bl{\sqrt{1+x^2}=xt+1}                    podnosimy do kwadratu

 

1+x^2=x^2t^2+2xt+1

 

x=xt^2+2t

 

x(1-t^2)=2t               stąd: \re\fbox{x=\frac{2t}{1-t^2}}         więc     \re \fbox{dx=\frac{2(1-t^2)-2t\cdot (-2t)}{(1-t^2)^2}dt=\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}dt}

 

Wstawiamy do:

 

\sqrt{1+x^2}=xt+1          więc       \re\fbox{\sqrt{1+x^2}=(\frac{2t}{1-t^2})\cdot t+1=\frac{t^2+1}{1-t^2}}

 

Wstawiamy do całki:

 

\int \frac{dx}{x\cdot\sqrt{1+x^2}}=\int\frac{\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}dt}{\frac{2t}{1-t^2}\cdot \frac{t^2+1}{1-t^2}}=\int \frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2} \cdot \frac{(1-t^2)^2}{2t\cdot (t^2+1)}dt=\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C= \ln|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}|+C

 

Czyli:

 

\bl\fbox{\int \frac{dx}{x\cdot\sqrt{1+x^2}}=\ln|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}|+C}
 


  • 4

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55