Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka funkcji z pierwiastkiem - ciekawe podstawienie (2)

Całka Całka z pierwiastka Całka przez podstawienie rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3320 postów
2883
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.11.2013 - 03:37

*
Najwyższa ocena

\int \sqrt{a+x^2}dx

 

\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\int \frac{a+x^2}{\sqrt{a+x^2}}dx=\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}+ \int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}}

 

 

Pierwsza z całek:

 

\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Podstawienie:

x+\sqrt{x^2+a}=t

 

\sqrt{x^2+a}=t-x                do kwadratu

 

x^2+a = t^2-2xt+x^2              czyli:

 

x=\frac{t^2-a}{2t}=\frac{1}{2}\(t-\frac{a}{t}\)

 

dx=\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt

 

\sqrt{x^2+a}=t-x      więc    \sqrt{x^2+a}=t-\frac{t^2-a}{2t}=\frac{t^2+a}{2t}          zatem Pierwsza całka wyniesie:

 

a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a \int \frac{\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt}{\frac{t^2+a}{2t}}=\frac{1}{2}\cdot a \int \frac{t^2+a}{t^2} \cdot \frac{2t}{t^2+a}dt=\frac{a}{2}\int \frac{2t}{t^2}dt=a\int \frac{dt}{t}=a\ln|t|+C=a\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C

 

\re\fbox{a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C}

 

Druga z całek:

 

\int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Przez części:

 

f(x)=x          g'(x)=\frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

f'(x)=1          g(x)=\sqrt{a+x^2}       ponieważ:       \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=2\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{2\sqrt{a+x^2}}=\sqrt{a+x^2}+C       \bl\fbox{\int \frac{h'(x)dx}{2\sqrt{h(x)}}=\sqrt{h(x)}+C

 

\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx

 

Czyli:

 

\int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx                     więc:

 

2\cdot \int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}

 

\re\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a+x^2} + C}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.11.2016 - 10:23

  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 845 postów
385
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.05.2016 - 05:29

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów ostrych CD, AE
Wyraź stosunki boków \frac{BE}{AB} lub \frac{AB}{BE} z trójkąta ABE 

oraz stosunki boków \frac{DB}{BC} lub \frac{BC}{DB} z trójkąta DBC

za pomocą dwóch wybranych boków trójkąta ABC 

Są {3\choose 2} możliwości wyboru boków trójkąta ABC więc tyle ile potrzebujemy 

 

To zadanko pozwoli znaleźć pasujące podstawienie które usunie pierwiastek z funkcji podcałkowej 


  • 0

#3 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 176 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.10.2016 - 18:53

Mariusz proszę pokaż jak to zadanie geometryczne pomaga w całce bo szczerze to nie wiem nawet jak to powiązać


  • 0

#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 845 postów
385
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.10.2016 - 19:39

Aby te zadanko rozwiązać możesz skorzystać z wzoru na tangens podwojonego kąta albo z wzoru sinusów

Rozpatrz trzy przypadki jakie daje ci postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

 


  • 0