Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka funkcji z pierwiastkiem - ciekawe podstawienie (1)

Całka z pierwiasta Całka Całka przez podstawienie rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.11.2013 - 02:37

*
Najwyższa ocena

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}

 

Podstawienie:

 \re\fbox{t=x+\sqrt{x^2+k^2}}

 

Przekształcenia:

\sqrt{x^2+k^2}=t-x    \backslash^2            (\triangle)

 

x^2+k^2=t^2-2tx+x^2 prace porządkowe :)

 

k^2=t^2-2tx       \Rightarrow      x=\frac{t^2-k^2}{2t}=\frac{1}{2}(t-\frac{k^2}{t})

 

                                                 \re\fbox{dx=\frac{t^2+k^2}{2t^2}dt}

 

Czyli z  (\triangle) mamy po wstawieniu obliczonego x:

 

\sqrt{x^2+k^2}=t-x

 

\re\fbox{\sqrt{x^2+k^2}=t-\frac{1}{2}(t-\frac{k^2}{t})=\frac{t^2+k^2}{2t}}

 

Wstawiamy do całki:

 

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}=\int \frac{t^2+k^2}{2t^2}\cdot \frac{dt}{\frac{t^2+k^2}{2t}}=\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C=\ln|x+\sqrt{x^2+k^2}|+C    gdzie C\in R

 

Reasumując:

 

\re \fbox{\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2+k^2}|+C}    gdzie C\in R


  • 4

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55