Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykazać podzielność liczby

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 persona9non4grata

persona9non4grata

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 31 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.11.2013 - 17:45

Wykazać, że

 

13^n-7 dzieli się bez reszty przez 6

 

W sumie doszłam do czegoś takiego:

 

Założyłam, że to prawda

1) dla n=1   13-7=6 OK
2) dla pozostałych n

Jeżeli liczba 13^n-7 jest podzielna przez 6, to można zapisać 13^n-7=6x

Z tego wynika, że 13^n=6x+7   \Rightarrow   13^{n+1}=13(6x+7)    \Rightarrow  13^{n+1}-7=78x+84 a to dzieli się bez reszty przez 6

 

Ale wydaje mi się, że takie rozwiązanie jest bardzo naciągane. Jakieś inne propozycje?


Użytkownik persona9non4grata edytował ten post 13.11.2013 - 17:49

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 krolikbuks

krolikbuks

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 65 postów
28
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.11.2013 - 19:37

spoko, indukcja może być, wcale nie naciągane

 

Inny sposób na kongruencjach:

 

13 ≡ 1 (mod.6)

13n ≡ 1n ≡ 1 (mod. 6)

7 ≡ 1 (mod.6)

13n - 7 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod. 6) a więc dzieli się przez 6


  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.11.2013 - 23:02

Ostatni ktok indykcyjny nieco inaczej:

 

6|13^n-7 (czyta się: 6 dzieli 13^n-7) z założenia indukcyjnego.

 

Trzeba sprawdzić czy 6|13^{n+1}-7

 

13^{n+1}-7=13^n\cdot 13-7=13^n(6+7)-7=13^n\cdot 6+13^n\cdot 7-7

 

Teraz zajmę się przekształcaniem pierwszego czynnikia

 

13^n\cdot 6+13^n\cdot 7-7=13^n\cdot (7-1)+13^n\cdot 7-7=13^n\cdot 7-13^n+13^n\cdot 7-7

 

Zauważmy, że środkowe wyrazy można odjąć (-13^n+13^n\cdot 7)  zostanie

 

13^n\cdot 7+13^n\cdot 6 -7 =

 

Teraz  z pierwszego i ostatniego wyciągamy 7

 

7(13^n-1)+13^n\cdot 6

 

I wnioski:

skoro 13^n-7 jest podziene przez 6 to 13^n-1 też jest podzielne bo różnica wynosi 6

czyli pierwszy składnik jest podzielny przez 6, podobnie jak drugi gdyż występuje tam czynnik 6

 

CAŁOŚĆ JEST PODZIELNA PRZEZ 6


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską