Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

brzeg, domknięcie i wnętrze-topologia

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 11.11.2013 - 13:10

Pomożecie??Mam za zadanie :
Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X.
Czy \partial A =\partial \left( X \setminus A\right) ?
Czy int\left(\partial A\right)\neq\emptyset?
Czy \partial \left( intA\right) =\partial A ?
Czy \partial\left(\overline{A}\right)=\partial A ?
Odpowiedzi uzasadnij.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.11.2013 - 16:20

Mamy \partial A=\overline{A}\setminus\mathrm{int}A=\overline{A}\cap(X\setminus\mathrm{int}A)=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}. Stąd natychmiast wynika, że pierwsza równość jest prawdziwa.

 

Drugie zdanie: bardzo łatwo znaleźć przykład że tak nie jest. Np. dla zbioru pustego, całej przestrzeni, składowej spójności (jeśli wiesz co to takiego) brzeg jest zbiorem pustym. A np. dla zbioru otwartego U mamy \partial U=\overline{U}\setminus U i w takim razie \mathrm{int}(\partial U)\cap U=\emptyset. Zatem \overline{U}\setminus\mathrm{int}(\partial U) zawiera zbiór U i jest zbiorem domkniętym, a więc zawiera domknięcie \overline{U}, więc \mathrm{int}(\partial U)=\emptyset. Z drugiej strony jeśli weźmiemy A=\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, to \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} a \mathrm{int}(\mathbb{Q})=\emptyset, więc brzegiem zbioru liczb wymiernych jest cała prosta rzeczywista.

 

Powyższy przykład z liczbami wymiernymi pokazuje, że trzecie i czwarte zdania są nieprawdziwe:

\partial(\mathrm{int}\mathbb{Q})=\partial\emptyset=\emptyset\neq\mathbb{R}=\partial\mathbb{Q}

\partial\overline{\mathbb{Q}}=\partial\mathbb{R}=\emptyset\neq\mathbb{R}=\partial\mathbb{Q}


Użytkownik hmm edytował ten post 11.11.2013 - 18:40

  • 1

#3 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 11.11.2013 - 16:45

Mamy \partial A=\overline{A}\setminus\mathrm{int}A=\overline{A}cap(X\setminus\mathrm{int}A)=\overline{A}\cap\overline(X\setminus A). Stąd natychmiast wynika, że pierwsza równość jest prawdziwa.

 

Drugie zdanie: bardzo łatwo znaleźć przykład że tak nie jest. Np. dla zbioru pustego, całej przestrzeni, składowej spójności (jeśli wiesz co to takiego) brzeg jest zbiorem pustym. A np. dla zbioru otwartego U mamy \partial U=\overline{U}\setminus U i w takim razie \mathrm{int}(\partial U)\cap U=\emptyset. Zatem \overline{U}\setminus\mathrm{int}(\partial U) zawiera zbiór U i jest zbiorem domkniętym, a więc zawiera domknięcie \overline{U}, więc \mathrm{int}(\partial U)=\emptyset. Z drugiej strony jeśli weźmiemy A=\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, to \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} a \mathrm{int}(\mathbb{Q})=\emptyset, więc brzegiem zbioru liczb wymiernych jest cała prosta rzeczywista.

 

Powyższy przykład z liczbami wymiernymi pokazuje, że trzecie i czwarte zdania są nieprawdziwe:

\partial(\mathrm{int}\mathbb{Q})=\partial\emptyset=\emptyset\neq\mathbb{R}=\partial\mathbb{Q}

\partial\overline{\mathbb{Q}}=\partial\mathbb{R}=\emptyset\neq\mathbb{R}=\partial\mathbb{Q}

mam pytanie co w tym zapisie oznacza cap??:)


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.11.2013 - 18:42

mam pytanie co w tym zapisie oznacza cap?? :)

Zabrakło "\" w kodzie LaTeXowym. Jeszcze jedną poprawkę zrobiłem obok. Chyba już wszystko jest OK.


  • 1