Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykazać rozważając topologie naturalne

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 10.11.2013 - 12:56

Mam za zadanie.
Niech \left\{ \left( x_{n} \right),\left( y_{n} \right) \right\} \subset \R^{2} oraz \left( a,b\right) \in \R^{2}.

Wykaż, że: \left( x_{n},y_{n} \right ) \rightarrow (a,b) \Leftrightarrow x_{n} \rightarrow a, y_{n} \rightarrow b.
Rozważmy topologie naturalne.


Użytkownik Agnieszka Łatka edytował ten post 10.11.2013 - 12:57

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.11.2013 - 15:22

Możemy wybrać metrykę która indukuje topologię naturalną. Np. metrykę maksimum:

 

d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}

 

Ustalamy \varepsilon>0. Jeśli (x_n,y_n)\to(a,b), to istnieje N takie, że dla n>N zachodzi d((x_n,y_n),(a,b))<\varepsilon. Stąd też |x_n-a|<\varepsilon i |y_n-b|<\varepsilon.

 

W drugą stronę, jeśli dla n>N_1 |x_n-a|<\varepsilon oraz dla n>N_2  |y_n-b|<\varepsilon, to dla n>\max\{N_1,N_2\} łatwo zobaczyć, że d((x_n,y_n),(a,b))<\varepsilon.

 

Oczywiście można by było użyć innej równoważnej metryki, np. euklidesowej, dzięki zastosowaniu metryki maksimum dowód jest prostszy.


  • 2