Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

macierz

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
7 odpowiedzi w tym temacie

#1 pawel296

pawel296

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 83 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.10.2013 - 20:31

Sprawdzić tożsamość
 
 
\left|\begin{array}{ccc}cos(a-b) \ \ \ &cos(b-c)\ \ \ &cos(c-a)\\cos(a+b)\ \ \ &cos(b+c)\ \ \ &cos(c+a)\\sin(a+b)\ \ \ &sin(b+c)\ \ \ &sin(c+b)\end{array}\right|= -2 \ sin \ (a-c) \ sin \ (c-b) \ sin \ (b-a)
 

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.10.2013 - 02:17

Skorzystaj z:

sin(a+b) = cos(b) sin(a) + sin(b) cos(a)

cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a) sin(b)

 

i oblicz wyznacznik:

 

pomocne będą jeszcze wzory:

2sin(a)cos(a)=sin(2a)

008f9e398735194842c87b4350be2f05.png

e20f57483eebd1b71d2d99a1380e00ea.png

810514dfc2cc646cd66e5caa3888feb3.png

 

i jedynka trygonometryczna. Większość się uprości


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 pawel296

pawel296

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 83 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.11.2013 - 16:12

w żaden sposób nie wychodzi mi prawidłowa odp. Chyba tego nie ogarne.


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.11.2013 - 23:33

Tożsamość nie jest prawdziwa, być może źle przepisałeś. W trzecim wierszu i trzeciej kolumnie powinno pewnie być \sin(c+a) a poza tym po prawej stronie nie będzie znaku - (lub w jednym z sinusów odwrotna kolejność zmiennych). Udowodnię tą zmienioną tożsamość.

 

Proponuję rozwinąć względem pierwszego wiersza. Będziemy mieli:

 

\cos(a-b)\begin{vmatrix}\cos(b+c)&\cos(c+a)\\\sin(b+c)&\sin(c+a)\end{vmatrix}-\cos(b-c)\begin{vmatrix}\cos(a+b)&\cos(c+a)\\sin(a+b)&\sin(c+a)\end{vmatrix}+\cos(c-a)\begin{vmatrix}\cos(a+b)&\cos(b+c)\\\sin(a+b)&\sin(b+c)\end{vmatrix}

 

Wyznaczniki w tym rozwinięciu to kolejno \sin((a+c)-(b+c)), \sin((a+c)-(a+b)) i \sin((b+c)-(a+b)) (p. przytoczony wyżej wzór). Zatem dostajemy:

\cos(a-b)\sin(a-b)-\cos(b-c)\sin(c-b)+\cos(c-a)\sin(c-a)=\frac{1}{2}(\sin(2(a-b))+\sin(2(b-c))+\sin(2(c-a)))

 

Teraz przekształcamy prawą stronę. Ze wzoru na iloczyn sinusów:

 

2\sin(a-c)\sin(c-b)\sin(b-a)=(\cos(a+b-2c)-\cos(a-b))\sin(b-a)=\cos(a+b-2c)\sin(b-a)+\frac{1}{2}\sin(2(a-b))

 

i teraz wzór na iloczyn sinusa i cosinusa:

 

\sin(b-a)\cos(a+b-2c)=\frac{1}{2}(\sin(2(b-c))+\sin(2(c-a)))

 

czyli lewa strona równa się prawej.


  • 1

#5 pawel296

pawel296

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 83 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.11.2013 - 11:05

sprawdziłem, i dobrze przepisałem 3w i 3k sin(c+b)


  • 0

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.11.2013 - 11:59

Nikt nie powiedział, że tożsamość ma być prawdziwa. Masz ją sprawdzić a nie dowieść prawdziwości. Jeśli się nie pomyliłeś ani w wyrazach macierzy ani w obliczeniach to wniosek jest taki, że tożsamość NIE JEST PRAWDZIWA.


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 pawel296

pawel296

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 83 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.11.2013 - 16:57

moje obliczenia są za każdym razem inne i nie nadają się to sprawdzenia tożsamośći a to co jest wyżej napisane, nie jest rozwinięciem macierzy z zadania., dlatego proszę o rozwiązanie zadania takiego jakie jest w pierwszym poście. 


Użytkownik pawel296 edytował ten post 07.11.2013 - 16:59

  • 0

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.11.2013 - 19:42

Sprawdzić tożsamość \left|\begin{array}{ccc}cos(a-b) \ \ \ &cos(b-c)\ \ \ &cos(c-a)\\cos(a+b)\ \ \ &cos(b+c)\ \ \ &cos(c+a)\\sin(a+b)\ \ \ &sin(b+c)\ \ \ &sin(c+b)\end{array}\right|= -2 \ sin \ (a-c) \ sin \ (c-b) \ sin \ (b-a)

 

Policzymy wyznacznik metodą Laplace'a rozwijając wg pierwszego wiersza:

 

cos(a-b)\cdot \left|\begin{array}{cc}cos(b+c) &cos(c+a)\\ sin(b+c) &sin(c+b)\end{array}\right|

 

-cos(b-c)\cdot \left|\begin{array}{cc}cos(a+b) &cos(c+a)\\ sin(a+b) &sin(c+b)\end{array}\right|

 

cos(c-a)\cdot \left|\begin{array}{cc}cos(a+b) &cos(b+c)\\ sin(a+b) &sin(b+c)\end{array}\right|

 

Czyli mamy:

 

cos(a-b)\(cos(b+c)sin(c+b)-sin(b+c)cos(c+a)\)-cos(b-c)\(cos(a+b)sin(c+b)-cos(c+a)sin(a+b)\)+cos(c-a)\(cos(a+b)sin(b+c)-cos(b+c)sin(a+b)\)

 

=cos(a-b)(\frac{sin(b+c-b-c)+sin(b+c+c+b)}{2}-\frac{sin(b+c-c-a)+sin(b+c+c+a)}{2})

 

-cos(b-c)(\frac{sin(a+b-c-b)+sin(a+b+c+b)}{2}-\frac{sin(a+b-c-a)+sin(a+b+c+a)}{2})

 

+cos(c-a)(\frac{sin(a+b-b-c)+sin(a+b+b+c)}{2}-\frac{sin(a+b-b-c)+sin(a+b+b+c)}{2})

 

 

Rozpisałem, mam nadzieje ze jasno i że się nie pomyliłem.

 

=\frac{1}{2}cos(a-b)(sin(2b+2c)-sin(2c-a+b)-sin(2c+a+b))-\frac{1}{2}cos(b-c)(sin(a-c)+sin(2b+c+a)-sin(b-c)-sin(2a+b+c))+\frac{1}{2}cos(c-a)(sin(a-c)+sin(a+2b+c)-sin(a-c)-sin(a+2b+c))

 

Ostatnia część się zeruje, zostanie

 

 

\frac{1}{2}cos(a-b)(sin(2b+2c)-sin(2c-a+b)-sin(2c+a+b))-\frac{1}{2}cos(b-c)(sin(a-c)+sin(2b+c+a)-sin(b-c)-sin(2a+b+c))


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 08.11.2013 - 02:34

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: macierz     x