Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów A
(1) A P(A)
oraz
(2) A P(A) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zbiór B, taki, że A=P(B)
Użytkownik jacekplacek edytował ten post 27.10.2013 - 21:53
Napisano 27.10.2013 - 21:52
Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów A
(1) A P(A)
oraz
(2) A P(A) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zbiór B, taki, że A=P(B)
Użytkownik jacekplacek edytował ten post 27.10.2013 - 21:53
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 27.10.2013 - 23:00
1) Niech będzie dowolnym elementem rodziny .
Mamy (z definicji do należy każdy element, który należy przynajmniej do jednego zbioru tej rodziny. W szczególności wszystkie elementy należą do ).
Skoro tak, to .
Ponieważ więc dowolny element rodziny należy do , to .
2)Jeśli to wystarczy wziąć za zbiór sumę rodziny .
W drugą stronę: zakładamy, że istnieje taki, że . Element należy do wtedy i tylko wtedy, gdy należy do jednego ze zbiorów z rodziny należy do pewnego podzbioru zbioru B należy do . Stąd udowodniliśmy, że i stąd mamy żądaną równość.