Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zbiór potęgowy rodziny zbiorów - dowód

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 jacekplacek

jacekplacek

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 29 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.10.2013 - 21:52

Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów A

 

(1)   A \subset P(\cupA)

 

oraz

 

(2)   A = P(\cupA) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zbiór B, taki, że  A=P(B)


Użytkownik jacekplacek edytował ten post 27.10.2013 - 21:53

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.10.2013 - 23:00

1) Niech X będzie dowolnym elementem rodziny A.

Mamy X\subset \bigcup A (z definicji do \bigcup A należy każdy element, który należy przynajmniej do jednego zbioru tej rodziny. W szczególności wszystkie elementy x\in X należą do \bigcup A).

Skoro tak, to X\in P(\bigcup A).

Ponieważ więc dowolny element rodziny A należy do P(\bigcup A), to A\subset P(\bigcup A).

 

2)Jeśli A=P(\bigcup A) to wystarczy wziąć za zbiór B sumę rodziny A.

W drugą stronę: zakładamy, że istnieje B taki, że A=P(B). Element x należy do \bigcup A wtedy i tylko wtedy, gdy należy do jednego ze zbiorów z rodziny A \Leftrightarrow należy do pewnego podzbioru zbioru B \Leftrightarrow należy do B. Stąd udowodniliśmy, że \bigcup A=B i stąd mamy żądaną równość.


  • 1