Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Miara zewnętrzna.



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Vianne

Vianne

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 826 postów
194
Pomocnik II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.10.2013 - 18:55

Witam, mam problem z następującym zadaniem:

 

Niech  \mu^{*} -miara zewnętrzna. Wykazać, że A spełnia warunek Caratheodory'ego  \Leftrightarrow\forall U\subset A,\forall V\subset A': \mu^{*}(U\cup V)=\mu^{*}(U)+\mu^{*}( V)

 

Co wiem:

 

Muszę więc pokazać implikację w dwie strony.

Łatwo zauważyć, że zbiory  U,V są rozłączne.

Znam war. Caratheo., mianowicie A spełania W.C wtw, gdy  \forall Z\subset X,\mu^{*}(Z)=\mu^{*}(Z\cap A)+\mu^{*}(Z\backslash A)

Umiem również dowieść, że jeśli A  spełnia W.C to A' też go spełnia- nie wiem czy się to przyda w zadniu, ale to umiem udowodnić.

 

Implikacja w prawo)

 

Czyli wiedząc że A spełnia W.C chcę pokazać że zachodzi to po prawej.

Skoro wiem, że  \forall Z\subset X,\mu^{*}(Z)=\mu^{*}(Z\cap A)+\mu^{*}(Z\backslash A), to kładę sobie Z=U\cup V, wtedy :

 \forall (U\cup V)\subset X\qquad\mu^{*}(U\cup V)=\mu^{*}((U\cup V)\cap A)+\mu^{*}((U\cup V)\backslash A), natępnie rozpisuję sobie prawą stronę równości:

 

 \mu^{*}((U\cup V)\cap A)+\mu^{*}((U\cup V)\backslash A)=\mu^{*}((U\cap A)\cup(V\cap A))+\mu^{*}((U\backslash A)\cup(V\backslash A))=\mu^{*}(U)+\mu^{*}(V)

 

Zatem otrzymuje szukaną równość.

 

Implikacja w lewo)

 

Wiem, że \forall U\subset A,\forall V\subset A': \mu^{*}(U\cup V)=\mu^{*}(U)+\mu^{*}( V)

 

Tu mi przychodzi dość prymitywna myśle żeby zrobić odwrotnie jak przedtem i tym razem położyć  U:=Z\cap A oraz  V:=Z\backslash A i uzasadnic, że skoro równość zachodzi dla wszystkich U i V, to będzie zachodzić dla wszystkich  Z\subset X

 

Czy to jest poprawne rozumowanie i dobry dowód?


Użytkownik Vianne edytował ten post 25.10.2013 - 18:56

  • 0
Jeśli pomogłam kliknij -->Dołączona grafika

"Zobaczyć świat w ziarenku piasku,
Niebiosa w jednym kwiecie lasu.
W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar,
w godzinie - nieskończoność czasu."

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.10.2013 - 19:28

W W.C. możesz zamienić Z\setminus A=Z\cap A'. Wtedy jest chyba nawet lepiej widoczne, że wystarcza przyjąć Z=U\cup V w jedną stronę a U=Z\cap A, V=Z\cap A' w drugą (tak, jak chcesz to zrobić). 

 

Musisz poprawić trochę zapis, tj. jeśli np dowodzisz w prawo, to bierzesz dowolny U\subset AV\subset A'. Następnie dla tych wybranych dowolnie zbiorów definiujesz Z=U\cup V. Z W.C. wiadomo, że \mu^*(U\cup V)=\ldots itd. A nie tak:

 

 

Skoro wiem, że  \forall Z\subset X,\mu^{*}(Z)=\mu^{*}(Z\cap A)+\mu^{*}(Z\backslash A), to kładę sobie Z=U\cup V, wtedy :

 \forall (U\cup V)\subset X\qquad\mu^{*}(U\cup V)=\mu^{*}((U\cup V)\cap A)+\mu^{*}((U\cup V)\backslash A)

 

Najgorsze jest \forall (U\cup V).

 

Podobnie jak będziesz dowodzić w lewo. Weź dowolny zbiór Z, zdefiniuj U i V tak jak chciałaś. Wtedy z założonego warunku wiesz, że dla tych zbiorów U,V (nie pisz, że dla wszystkich, kwantyfikator ogólny będzie stąd że bierzesz dowolny zbiór Z) zachodzi odpowiednia równość, która po przekształceniu da nam W.C.

 


  • 1





Tematy podobne do: Miara zewnętrzna.     x