Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wyznaczyć wszystkie macierze X takie, że...

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
11 odpowiedzi w tym temacie

#1 P0150

P0150

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 20.10.2013 - 18:03

Hej, 

Mam takie zadanie z macierzy: 

Dana jest macierz A=  [1 3] Wyznaczyć wszystkie macierze X takie, że AX=XA.          
                                    1  2  

Będę bardzo wdzięczna za wytłumaczenie :) 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.10.2013 - 19:25

Można zapisać macierz X jako \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} i z podanego warunku otrzymać układ równań na współczynniki a,b,c,d:

 

\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&3\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}

 

\begin{bmatrix}a+b&3a+2b\\c+d&3c+2d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+3c&b+3d\\a+2c&b+2d\end{bmatrix}

 

\{a+b=a+3c\\ 3a+2b=b+3d \\ c+d=a+2c \\ 3c+2d=b+2d

 

Z pierwszego lub ostatniego równania b=3c. Z trzeciego równania d=a+c (to samo dałoby drugie równanie). Stąd:

 

X=\begin{bmatrix}a&3c\\c&a+c\end{bmatrix}, gdzie a,c dowolne.


  • 0

#3 P0150

P0150

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.10.2013 - 16:41

Dziękuję bardzo, od razu jaśniej :)


  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2013 - 20:25

Wprowadzamy  poszukiwane macierze w postaci:

X=\left[\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right]

 

Podstawiamy do równania macierzowego

\left[\begin{array}{cc} 1&3\\1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1&3\\1&2\end{array}\right]

Po wymnożeniu macierzy po obu stronach otrzymujemy układ równań ze względu na nieznane liczby a,b,c,d

\left\{ -b+3c =0\\-3a-b+3d=0\\a-c+d =0\\b-3c=0\right.

Rozwiązując ten układ równań ze względu na jedną zmienną na przykład c otrzymujemy:

X=\left[\begin{array}{cc} 0&3c\\c&c\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{cc} 0&3\\1&1\end{array}\right], c\in R - wszystkie macierze spełniające powyższe równanie macierzowe.

 

 


  • 1

#5 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2013 - 21:47

 

Rozwiązując ten układ równań ze względu na jedną zmienną na przykład c otrzymujemy:

X=\left[\begin{array}{cc} 0&3c\\c&c\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{cc} 0&3\\1&1\end{array}\right], c\in R - wszystkie macierze spełniające powyższe równanie macierzowe.

 

Rozwiązanie jest błędne, macierz jednostkowa jest przemienna z każdą macierzą (więc też z macierzą A) jednak nie da się zapisać w tej postaci.

 

Kombinacja liniowa macierzy \left[\begin{array}{cc} 0&3\\1&1\end{array}\right] i macierzy jednostkowej o współczynnikach w \mathbb{R} będzie pełnym rozwiązaniem -- i jest to dokładnie to rozwiązanie które podałem wcześniej.


  • 1

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2013 - 12:38

Szanowny Panie hmm

Niech Pan sprawdzi,  że  podany układ równań ma rozwiązanie zależne od jednego parametru  c\in R .

Niech Pan podstawi  dowolne c\in R . To co Pan pisze jest nieprawdą, wręcz bzdurą. Proszę nie bronić się naiwnie od błędnego Pańskiego rozwiązania. 

 

Dla każdej macierzy liczbowej A możemy wybrać  tzw.macierz komutacyjną X że iloczyn tych macierzy jest przemienny. Odsyłam Pana do książki Andrzej Mostowski Algebra Liniowa.


  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2013 - 13:13

Jeśli mogę się wtrącić.

 

Podstawiamy do równania macierzowego \left[\begin{array}{cc} 1&3\\1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1&3\\1&2\end{array}\right]

 

 


Po wymnożeniu macierzy po obu stronach otrzymujemy układ równań ze względu na nieznane liczby a,b,c,d \left\{ -b+3c =0\\-3a-b+3d=0\\a-c+d =0\\b-3c=0\right.

 

 

w 3 równaniu jest błąd. Powinno być a+c-d=0

Ale ma pan rację

 


Dla każdej macierzy liczbowej A możemy wybrać tzw.macierz komutacyjną X że iloczyn tych macierzy jest przemienny.

 

 

pozdrawiam

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.10.2013 - 13:19

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2013 - 13:30

Po zauważonym błędzie przez kol. Jarekzulusa i powtórnym rozwiązaniu układu stwierdzam,że moje rozwiązanie jest prawdziwe dla szczególnego  a=0.Nie mniej jednak przystaję przy komutatorze (macierzy komutującej). Przepraszam za post. 


  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2013 - 14:02

Nie ma za co przepraszać. Zwykły błąd z minusem. Z komuatorem miałeś rację

 

Rozwiązanie ogólne zadania dla jasności zaintersowanych:

X=\left[\begin{array}{cc} a&3c\\c&c+a\end{array}\right]


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.10.2013 - 14:02

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2013 - 21:00

Dla każdej macierzy liczbowej A możemy wybrać  tzw.macierz komutacyjną X że iloczyn tych macierzy jest przemienny. Odsyłam Pana do książki Andrzej Mostowski Algebra Liniowa.

 

 

Myślę że źle mnie Pan zrozumiał. Nigdzie nie twierdziłem że tak nie jest. Przeciwnie, napisałem że każda macierz (powiniem dodać kwadratowa) jest przemienna z macierzą jednostkową. W Pana wcześniejszym rozwiązaniu macierz jednostkowa się nie pojawiała, a to świadczyło o tym że ukrywał się w nim błąd. 


  • 0

#11 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.10.2013 - 19:40

Dalej chyba się nie rozumiemy.

Po to by wyznaczyć macierz przemienną  dla danej macierzy kwadratowej, nie musi pojawiać się macierz jednostkowa.


  • 0

#12 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.10.2013 - 20:39

Dalej chyba się nie rozumiemy.

Po to by wyznaczyć macierz przemienną  dla danej macierzy kwadratowej, nie musi pojawiać się macierz jednostkowa.

 

Jeżeli twierdzimy, że potrafimy podać ogólną postać macierzy przemiennej z daną macierzą A, to macierz jednostkowa też musi dać się zapisać w tej postaci. Oczywiście możemy zwykle podać o wiele więcej macierzy przemiennych z A, chociażby tę samą macierz  A czy wszystkie jej potęgi A^n. One też muszą dać się zapisać w podanej przez nas postaci, inaczej nie możemy twierdzić że znaleźliśmy wszystkie macierze przemienne z A. A na tym przecież polegało zadanie.


  • 0