Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wektory

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 czar

czar

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 48 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.10.2013 - 18:28

Dane są wektory: \vec{A} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} , \vec{B} = 4\vec{i} + 5\vec{j} + 6\vec{k} , \vec{C} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{A} , \vec{D} = 6\vec{i} + 5\vec{j} + 4\vec{k} . Znajdź: a) \vec{A} + \vec{B}   +\vec{C} + \vec{D} , \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} - \vec{D} , \vec{A} - \vec{B} + \vec{C} - \vec{D} , -\vec{A} + \vec{B} - \vec{C} + \vec{D}

b) kąty które tworzą wektory \vec{A} , \vec{B} , \vec{C} , \vec{D} z osiami prostokątnego układu współrzędnych

c) wartość wektorów \vec{A} , \vec{B} , \vec{C} , \vec{D}

d) iloczyn skalarny (\vec{A} + \vec{B} ) x (\vec{C} + \vec{D} )

e)kąty które tworzy wektor \vec{A} z pozostałymi wektorami

f)rzut wektora \vec{A} na kierunki wektorów \vec{B} , \vec{C} , \vec{D}

g) iloczyny wektorowe \vec{A} x \vec{B} , \vec{A} x \vec{C} , \vec{B} x \vec{C} i kąty, które tworzą one z wekotrem \vec{D} .


Użytkownik czar edytował ten post 16.10.2013 - 19:04
dodałam znaczniki [TeX] [/TeX]

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.10.2013 - 23:04

a) Np. \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}=(i+2j+3k)+(4i+5j+6k)+(3i+2j+(i+2j+3k))+6i+5j+4k=15i+16j+16k.

b) Np. \cos\alpha=\frac{\vec{A}\cdot i}{|\vec{A}|}=\frac{1}{sqrt{1+4+9}}=\frac{1}{\sqrt{14}} \Rightarrow \alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt{14}}. Ogólny wzór na cosinus kąta między wektorami to iloczyn skalarny wektorów podzielony przez iloczyn ich długości. Tutaj bierzemy kolejne wersory i,j,k, wtedy wartość iloczynu skalarnego z danym wersorem to odpowiedni współczynnik, np. A\cdot i=1, A\cdot j=2, A\cdot k=3. Długość każdego wersora to 1 więc dzielimy tylko przez długość danego wektora. 

c) Wartość czyli długość wektora, jeśli \vec{v}=ai+bj+ck to |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.

d) \vec{A}+\vec{B}=5i+7j+9k\vec{C}+\vec{D}=10i+9j+7k. Iloczyn skalarny (\vec{A}+\vec{B})\cdot (\vec{C}+\vec{D})=5\cdot10+7\cdot 9+9\cdot 7=50+63+63=176.

e) Podobnie jak w b), korzystając z wyliczonych długości wektorów, np. \cos\angle(\vec{A},\vec{B})=\frac{1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6}{\sqrt{14}\sqrt{4^2+5^2+6^2}}=\frac{32}{\sqrt{14\cdot77}}=\frac{32}{7\sqrt{22}}\angle(\vec{A},\vec{B})=\arccos\frac{32}{7\sqrt{22}}.

f) Można użyć wzoru \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|^2}\vec{B} (zastępując potem \vec{B} przezpozostałe wektory). W przypadku wektora \vec{B} wyjdzie \frac{32}{77}(4i+5j+6k)=1\frac{51}{77}i+2\frac{6}{77}j+2\frac{38}{77}k.

g) Kąty już policzysz, więc tylko pokażę jak policzyć iloczyn wektorowy (na przykładzie \vec{A} i \vec{B}). Można tak:

(i+2j+3k)\times(4i+5j+6k)=4i\times i+5i\times j+6i\times k+8j\times i+10j\times j+12 j\times k+12k\times i+15k\times j+18k\times k. Korzystamy z własności v\times v=0v\times w=-w\times v i mamy \vec{A}\times \vec{B}=-3i\times j-6i\times k-3j\times k, dalej i\times j=k, j\times k=i, i\times k = -j więc ostatecznie wychodzi -3i+6j-3k.

Druga metoda (jeśli znasz wyznaczniki): liczymy wyznacznik \begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6\end{vmatrix} (w dwóch dolnych wierszach wpisujemy współczynniki wektorów których iloczyn chcemy obliczyć).


  • 0