Centrum statystyk

FAQ i inne

Więcej

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Pierwiastki równania x^3+ax^2+bx+c=0

Rozpoczęty przez bb314, Oct 03 2013 18:31

równanie trzeciego stopnia

Nie możesz napisać tematu
Zaloguj się aby odpowiedzieć

Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 bb314

miła suczka

$Jr Admin
Redaktor
4000 postów

5064
Profesor

Płeć:

Wyróżnienia

3

22

Napisano 03.10.2013 - 18:31

Najwyższa ocena

Rozwiązanie równania trzeciego stopnia postaci $\ \re\fbox{\ x^3+ax^2+bx+c=0\ }\$ . Podstawmy $\bl\ x=y-\frac13a\ \ \ $^{*1}$$

$$y-\frac13a$^3+a$y-\frac13a$^2+b$y-\frac13a$+c=0$

$y^3-ay^2+\frac13a^2y-\frac{1}{27}a^3+ay^2-\frac23a^2y+\frac19a^3+by-\frac13ab+c=0$

$y^3+$b-\frac13a^2$y+\frac1{27}$2a^3-9ab+27c$=0$

otrzymaliśmy równanie trzeciego stopnia postaci $\bl\ y^3+py+q=0\$ gdzie $\bl\ \{p=b-\frac13a^2\\q=\frac1{27}$2a^3-9ab+27c$$

teraz podstawmy $\bl\ y=u+v\ \ \ $^{*2}$$

$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$

$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q=0$

$u^3+v^3+q+3$u+v$$uv+\frac13p$=0$

to równanie będzie spełnione, gdy $\ \{u^3+v^3+q=0\\uv+\frac13p=0$ $\gr\ \Rightarrow\$ $\{u^3+v^3=-q\\uv=-\frac13p$ $\gr\ \Rightarrow\$ $\{u^3+v^3=-q\\u^3v^3=-\frac1{27}p^3$

to ostatnie to wzory Viete'a na pierwiastki równania kwadratowego $\bl\ z^2+qz-\frac1{27}p^3=0$

$\Delta=q^2+\frac4{27}p^3$ $\gr\ \Rightarrow\$

$\gr\ \Rightarrow\$ $\{t_1=\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2\\t_2=\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2$ $\gr\ \Rightarrow\$ $\{u^3=\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2\\v^3=\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2$ $\gr\ \Rightarrow\$ $\{u=\sqrt[3]1\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\\v=\sqrt[3]1\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}$ $\gr\ \Rightarrow\$

$\bl\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \fbox{\fbox{\ \sqrt[3]1=1\ \ \vee\ \ -\frac12+\frac{\sqrt3}2i\ \ \vee\ \ -\frac12-\frac{\sqrt3}2i\ }}$

$\gr\ \Rightarrow\$ $\{u_1=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_1=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\\u_2=$-\frac12+\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ \ \ \ v_2=$-\frac12-\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\\u_3=$-\frac12-\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ \ \ \ v_3=$-\frac12+\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}$

podstawiamy do $\ $^{*2}$\$ a następnie do $\ $^{*1}$$

$\re\{x_1=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ +\ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}-\frac13a\\x_2=$-\frac12+\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ +\ $-\frac12-\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}-\frac13a\\x_3=$-\frac12-\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ +\ $-\frac12+\frac{\sqrt3}2i$\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}-\frac13a\$ gdzie $\re\ \{p=b-\frac13a^2\\q=\frac1{27}$2a^3-9ab+27c$$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ :shifty:

$\$

8

$\ \$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ Jeśli chcesz powiedzieć $\ \$ DZIĘKUJĘ $\ \$ lub $\ \$ ŁAŁ $\ \$ to zaloguj się i kliknij znak $\$ $\$ nad kreską. $\bl\ \ \ \nearrow$
..
..
..
..
..
..

Do góry

Afroman

Kombinator

Użytkownik

3

Płeć:

Napisano 25.09.2011 - 17:55

Do góry

Wróć do ABC Matematyka

Pierwiastki równania x^3+ax^2+bx+c=0

#1 bb314

Wyróżnienia

Afroman

Zaloguj się