Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Pierwiastki równania x^3+ax^2+bx+c=0

równanie trzeciego stopnia

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4728
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 03.10.2013 - 18:31

*
Najwyższa ocena

Rozwiązanie równania trzeciego stopnia postaci \ \re\fbox{\ x^3+ax^2+bx+c=0\ }\ . Podstawmy \bl\ x=y-\frac13a\ \ \ \(^{*1}\)

\(y-\frac13a\)^3+a\(y-\frac13a\)^2+b\(y-\frac13a\)+c=0

y^3-ay^2+\frac13a^2y-\frac{1}{27}a^3+ay^2-\frac23a^2y+\frac19a^3+by-\frac13ab+c=0

y^3+\(b-\frac13a^2\)y+\frac1{27}\(2a^3-9ab+27c\)=0

otrzymaliśmy równanie trzeciego stopnia postaci \bl\ y^3+py+q=0\ gdzie \bl\ \{p=b-\frac13a^2\\q=\frac1{27}\(2a^3-9ab+27c\)

teraz podstawmy \bl\ y=u+v\ \ \ \(^{*2}\)

(u+v)^3+p(u+v)+q=0

u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q=0

u^3+v^3+q+3\(u+v\)\(uv+\frac13p\)=0

to równanie będzie spełnione, gdy \ \{u^3+v^3+q=0\\uv+\frac13p=0\gr\ \Rightarrow\ \{u^3+v^3=-q\\uv=-\frac13p\gr\ \Rightarrow\ \{u^3+v^3=-q\\u^3v^3=-\frac1{27}p^3

to ostatnie to wzory Viete'a na pierwiastki równania kwadratowego \bl\ z^2+qz-\frac1{27}p^3=0

\Delta=q^2+\frac4{27}p^3\gr\ \Rightarrow\

\gr\ \Rightarrow\ \{t_1=\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2\\t_2=\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2\gr\ \Rightarrow\ \{u^3=\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2\\v^3=\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2\gr\ \Rightarrow\ \{u=\sqrt[3]1\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\\v=\sqrt[3]1\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\gr\ \Rightarrow\

\bl\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \fbox{\fbox{\ \sqrt[3]1=1\ \ \vee\ \ -\frac12+\frac{\sqrt3}2i\ \ \vee\ \ -\frac12-\frac{\sqrt3}2i\ }}

\gr\ \Rightarrow\ \{u_1=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_1=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\\u_2=\(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ \ \ \ v_2=\(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\\u_3=\(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ \ \ \ v_3=\(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}

podstawiamy do \ \(^{*2}\)\ a następnie do \ \(^{*1}\)

\re\{x_1=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ +\ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}-\frac13a\\x_2=\(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ +\ \(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}-\frac13a\\x_3=\(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}\ +\ \(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\)\cdot\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac4{27}p^3}}2}-\frac13a\ gdzie \re\ \{p=b-\frac13a^2\\q=\frac1{27}\(2a^3-9ab+27c\)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \    :shifty: \    :shifty:

  • 8

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55