Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
* * * * * 1 głosy
        STUDIA        

Równanie różniczkowe Riccatiego

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.07.2013 - 15:40

Równanie różniczkowe postaci

\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=p\left(x\right)y^{2}+q\left(x\right)y+r\left(x\right)

nazywamy równaniem różniczkowym Riccatiego

Mając daną całkę szczególną równania różniczkowego Riccatiego możemy sprowadzić to równanie do
równania różniczkowego Bernoulliego podstawieniem

y=y_{1}\left(x\right)+u\left(x\right)

y_{1}^{\prime}\left(x\right)+u^{\prime}\left(x\right)=p\left(x\right)\left(y_{1}^2\left(x\right)+2y_{1}\left(x\right)u\left(x\right)+u^2\left(x\right)\right)+q\left(x\right)\left(y_{1}\left(x\right)+u\left(x\right)\right)+r\left(x\right)

Ponieważ y_{1}\left(x\right) jest całką szczególną równania różniczkowego Riccatiego więc
powyższe równanie możemy zapisać następująco

p\left(x\right)y_{1}^{2}\left(x\right)+q\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+r\left(x\right)+u^{\prime}\left(x\right)=

=p\left(x\right)y_{1}^{2}\left(x\right)+2p\left(x\right)y_{1}\left(x\right)u\left(x\right)+p\left(x\right)u^{2}\left(x\right)+q\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)u\left(x\right)+r\left(x\right)\\u^{\prime}\left(x\right)=p\left(x\right)u^{2}\left(x\right)+\left(2p\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)\right)u\left(x\right)\\u^{\prime}\left(x\right)- \left(2p\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)\right)u\left(x\right) = p\left(x\right)u^{2}\left(x\right)

Znając całkę szczególną równania różniczkowego Riccatiego możemy sprowadzić to równanie także do
równania różniczkowego liniowego niejednorodnego podstawieniem

y=y_{1}+\frac{1}{u\left(x\right)}

y_{1}^{\prime}\left(x\right)-\frac{1}{u\left(x\right)}\cdot u^{\prime}\left(x\right)=p\left(x\right)\left(y_{1}^{2}\left(x\right)+2\frac{y_{1}\left(x\right)}{u\left(x\right)}+\frac{1}{u^{2}\left(x\right)}\right)+q\left(x\right)\left(y_{1}\left(x\right)+\frac{1}{u\left(x\right)}\right)+r\left(x\right)

Ponieważ y_{1}\left(x\right) jest całką szczególną równania różniczkowego Riccatiego więc
powyższe równanie możemy zapisać następująco

p\left(x\right)y_{1}^{2}\left(x\right)+q\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+r\left(x\right)-\frac{1}{u^{2}\left(x\right)}\cdot u^{\prime}\left(x\right)=

=p\left(x\right)y_{1}^{2}\left(x\right)+2p\left(x\right)\frac{y_{1}\left(x\right)}{u\left(x\right)}+p\left(x\right)\cdot\frac{1}{u^{2}\left(x\right)}+q\left(x\right)u_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}+r\left(x\right)\\-\frac{1}{u^{2}\left(x\right)}\cdot u^{\prime}\left(x\right)=p\left(x\right)\cdot\frac{1}{u^{2}\left(x\right)}+\left(2p\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)\right)\frac{1}{u\left(x\right)}\\u^{\prime}\left(x\right)=-p\left(x\right)- \left(2p\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)\right) u\left(x\right)\\u^{\prime}\left(x\right)+ \left(2p\left(x\right)y_{1}\left(x\right)+q\left(x\right)\right) u\left(x\right) =-p\left(x\right)
 

 

Przykłady

 

\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>y'=-y^2-\frac yx+\frac4{x^2}\\</p>\\<p>y_{1}=\frac{a}{x}\\</p>\\<p>-\frac{a}{x^2}=-\frac{a^2}{x^2}-\frac{a}{x^2}+\frac{4}{x^2}\\</p>\\<p>-a=-a^2-a+4\\</p>\\<p>a^2-4=0\\</p>\\<p>\left(a-2\right)\left(a+2\right)=0\\</p>\\<p>y_{1}=\frac{2}{x}\\</p>\\<p>y=\frac{2}{x}+u\left(x\right)\\</p>\\<p>-\frac{2}{x^2}+u^{\prime}\left(x\right)=-\left(\frac{2}{x}+u\left(x\right)\right)^2-\left(\frac{2}{x}+u\left(x\right)\right)\cdot \frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\\</p>\\<p>-\frac{2}{x^2}+u^{\prime}\left(x\right)=-\frac{4}{x^2}-\frac{4}{x}\cdot u\left(x\right)-u\left(x\right)^2-\frac{2}{x^2}-u\left(x\right)\cdot\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\\</p>\\<p>u^{\prime}\left(x\right)+\frac{5}{x}u\left(x\right)=-u\left(x\right)^2\\</p>\\<p>\frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^2}+\frac{5}{x}\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}=-1\\<br>\\\mu\left(x\right)\cdot \frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^2}+\mu\left(x\right) \cdot \frac{5}{x}\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}=-\mu\left(x\right)\\<br>\\\left(f\cdot g\right)^{\prime}=f^{\prime}g+g^{\prime}f\\<br>\\\begin{array}{cc}f^{\prime}=\frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^2}&g=\mu\left(x\right)\\f=-\frac{1}{u\left(x\right)}&g^{\prime}=-\frac{5}{x}\cdot\mu\left(x\right)\end{array}\\</p>\\<p>\mu^{\prime}\left(x\right)=-\frac{5}{x}\cdot \mu\left(x\right)\\</p>\\<p>\frac{\mu^{\prime}\left(x\right)}{\mu\left(x\right)}=-\frac{5}{x}\\</p>\\<p>\ln{\left|\mu\left(x\right)\right|}=-5\ln{\left|x\right|}\\</p>\\<p>\mu\left(x\right)=\frac{1}{x^5}\\</p>\\<p>\left(-\frac{1}{x^5}\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^5}\\</p>\\<p>-\frac{1}{x^5}\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^4}+C\\</p>\\<p>\frac{1}{x^5u\left(x\right)}=-\frac{1+Cx^4}{2x^4}\\</p>\\<p>x^5u\left(x\right)=-\frac{4x^4}{1+Cx^4}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=-\frac{4}{x}\cdot\frac{1}{1+Cx^4}<br>\\y=\frac{2}{x}\left(1-\frac{2}{1+Cx^4}\right)\\<br>\\

 

 

 

\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>\\</p>\\<p>y^{\prime}=-\left(y-x\right)^2-\frac{2}{x}\left(y-x\right)+1\\</p>\\<p>y_{1}=x\\</p>\\<p>y=x+\frac{1}{u\left(x\right)}\\</p>\\<p>1-\frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^2}=-\frac{1}{u\left(x\right)^2}-\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}+1\\</p>\\<p>-\frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^2}=-\frac{1}{u\left(x\right)^2}-\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{u\left(x\right)}\\</p>\\<p>u^{\prime}\left(x\right)=\frac{2}{x}u\left(x\right)+1\\</p>\\<p>u^{\prime}\left(x\right)-\frac{2}{x}u\left(x\right)=1\\</p>\\<p>u^{\prime}\left(x\right)-\frac{2}{x}u\left(x\right)=0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}=\frac{2}{x}u\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}u}{u}=\frac{2}{x}\mbox{d}x\\</p>\\<p>ln{\left|u\right|}=2\ln{\left|x\right|}+C\\</p>\\<p>u=Cx^2\\</p>\\<p>u\left(x\right)=C\left(x\right)x^2\\</p>\\<p>C^{\prime}\left(x\right)x^2+2xC\left(x\right)-\2xC\left(x\right)=1\\</p>\\<p>C^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x^2}\\</p>\\<p>C\left(x\right)=-\frac{1}{x}+const\\</p>\\<p>u\left(x\right)=-x+Cx^2\\</p>\\<p>y=x-\frac{1}{x+Cx^2}<br>\\
 


Użytkownik bb314 edytował ten post 17.02.2014 - 10:05

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55





Tematy podobne do: Równanie różniczkowe Riccatiego     x