Pokazać, ze:
(i) funkcja Dirichleta
(ii) funkcja Signum
(iii) funkcja Cantora
są mierzalne w sensie Lebesgueâa.
Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc
Napisano 14.06.2013 - 18:27
Pokazać, ze:
(i) funkcja Dirichleta
(ii) funkcja Signum
(iii) funkcja Cantora
są mierzalne w sensie Lebesgueâa.
Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 09.03.2015 - 13:13
Może zacznij od tego, że funkcja charakterystyczna jakiegoś zbioru jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy sam zbiór jest mierzalny (ew musisz to jeszcze udowodnić). Teraz zauważ, że funkcja Dirichleta jest w istocie funkcją charakterystyczną zbioru liczb wymiernych czyli jak wiesz zbioru mierzalnego w sensie Lebesgua. Co właściwie kończy sprawę dla tej funkcji.
Co do funkcji Signum to możesz ją rozbić na sumę funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych (otwartych). A ponieważ suma zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgua jest mierzalna w sensie Lebesgua więc na tym też w zasadzie koniec.
Funkcje proste są mierzalne w sensie Lebesgua jak i granica ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną w sensie Lebesgua a funkcja Cantora to granica punktowa ciągu funkcji prostych.
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 09.03.2015 - 13:14
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską