Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Pole trójkąta.

LICEUM promień okręgu wpisanego

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 Azaks

Azaks

    Automatyk z zacięciem

  • ^Przyjaciele
  • 574 postów
18
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2013 - 17:30

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 17 cm , a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt - 6 cm. Oblicz pole trójkąta. 

 

PS.

Proszę bez delty, bo spotkałem się z takim rozwiązaniem.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.05.2013 - 17:54

Prosisz i masz  ;)

 

Trójkąt prostokątny o bokach \ \bl a,\ b,\ c=34\ \ \ \ r=6

 

P=r\cdot\frac{a+b+c}{2}\gr\ \Rightarrow\ a+b=\frac{2P}{r}-c\gr\ \Rightarrow\ \bl (a+b)^2=\frac{4P^2}{r^2}-\frac{4Pc}{r}+c^2\ \ \ \(^{*1}\)

 

P=\frac12ab\gr\ \Rightarrow\ \bl 2ab=4P\ \ \ \(^{*2}\)

trójkąt prostokątny, więc

\bl a^2+b^2=c^2\ \ \ \(^{*3}\)

 

ze wzorów skróconego mnożenia

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

podstawiając \ \ \(^{*1}\),\ \(^{*2}\),\ \(^{*3}\) mamy

\frac{4P^2}{r^2}-\frac{4Pc}{r}+c^2=c^2+4P\ \ /\cdot\frac{r^2}{4P}\gr\ \Rightarrow\ P-rc=r^2\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ P=r(c+r)\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2013 - 19:28

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 17 cm , a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt 6 cm. Oblicz pole trójkąta. 

..., no to może jeszcze np.tak : niech a,b,c,\ r, R - standardowe oznaczenia wielkości w zadaniu, to

z własności środka okręgu opisanego i własności odcinków stycznych do okręgu wpisanego - tu - w trójkąt prostokątny

mamy kluczową w tym zadaniu równość :

 

\re a-r+b-r= c=2R \ \bl\Leftrightarrow\   a+b=\ 2R+2r\ /^2 \ \bl\Rightarrow\   (a+b)^2=\ 4(R+r)^2 \ \bl\Leftrightarrow\   a^2+b^2+2ab=\ 4(R+r)^2 \ \bl\Leftrightarrow\

 

\bl\Leftrightarrow\ c^2+2ab=\ 4(R+r)^2 \ \bl\Leftrightarrow\ 4R^2+2ab=\ 4(R+r)^2\ /:4 \ \bl\Leftrightarrow\ R^2+\frac{1}{2}ab=\ (R+r)^2 \ \bl\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}ab=\ (R+r)^2-R^2 \ \bl\Leftrightarrow\

 

\bl\Leftrightarrow\   \re S_{\Del}=  (R+r-R) (R+r+R)= \re r(r+2R)= 6\cd(6+2\cd 17=\ 6\cd(6+34)=\ 6\cd 40=\re 240 cm^2 . ... :)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

... i od dzisiaj  spróbuję sobie zapamiętać wzór \re S=r(r+2R) - na pole trójkąta prostokątnego .


  • 1

#4 Azaks

Azaks

    Automatyk z zacięciem

  • ^Przyjaciele
  • 574 postów
18
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2013 - 19:39

Obiecuję ,zapamiętam. W sumie na lekcji nie mieliśmy go wyprowadzanego , ale jak widać bardzo przydatny. :)


  • 0

#5 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2013 - 21:33

..., powiem szczerze ja też go nie znałem :)


  • 0

#6 Azaks

Azaks

    Automatyk z zacięciem

  • ^Przyjaciele
  • 574 postów
18
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2013 - 21:57

Hmm, co najwyżej Pan nie pamiętał ... :) Osoba z takim stażem ma pewnie tysiące wzorów w głowie , więc nie trudno ,aby jeden się gdzieś zapodział w najciemniejszych szczelinach naszego skomplikowanego narządu. :)


  • 0

#7 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.05.2013 - 22:12

naprawdę, bo nie spotkałem go w żadnych tablicach, a jeśli nawet kiedyś by sie przydał, to zapewne liczyłem coś podobnego

od razu  na konkretnych danych liczbowych ; dopiero dzisiaj  post (ogólne rozwiązanie) bb314 za co dziękuję)  zainspirował mnie

do wyprowadzenia tego ładnego wzoru  . ... :)


  • 0





Tematy podobne do: Pole trójkąta.     x