Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równanie różniczkowe ruchu

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Drzewo

Drzewo

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 40 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.05.2013 - 15:35

Punkt materialny M o masie m porusza się po osi OX pod działaniem siły S=-kx oraz siły H=-hx*. Napisać równanie rózniczkowe ruchu oraz rozwiązać je z warunkiem początkowym x=a, x*=0 dla t=0, przyjmując m=k=1 oraz h=0.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.05.2013 - 18:33

Z II zasady dynamiki Newtona

 m x"(t) = -(k+h) x - szwankuje edytor,

Z treści zadania

x"(t)+kx =0,

 x"(t)+\omega^2=0 (1)

\omega^2=\frac{k}{m}= \frac{k}{1}=k

\omega - częstotliwość drgań.

Równanie (1) jest równaniem różniczkowym jednorodnym, liniowym rzędu drugiego.

Odpowiadające mu równanie charakterystyczne

 r^2+\omega^2=0

ma pierwiastki zespolone

r_{1,2}=\pm \sqrt{-\omega^2}=\pm\omega\cdot i

 

Rozwiązanie ogólne równania ma postać

 x(t)=C_{1}\sin(\omega t)+C_{2}\cos(\omega t)

czyli

x(t)=C_{1}\(\sin(\omega t) + \frac{C_{2}}{C_{1}}\cos(\omega t)\), 

 

Wprowadzając pomocniczy kąt za pomocą zależności 

 \frac{C_{2}}{C_{1}}=\tan(\phi)

 

otrzymamy

x(t)=\frac{C_{1}}\(\cos(\phi)}\(\cos(\phi)\sin(\omega t)+sin(\phi)\cos(\omega t)\).

 

Oznaczając

 \frac{C_{1}}{\cos(\phi)}=A

 

otrzymujemy rozwiązanie ogólne  w postaci

 x(t)=A\sin(\omega t+ \phi)

 

Jest to równanie drgań harmonicznych o amplitudzie A  i fazie początkowej \phi.

W celu znalezienia rozwiązania szczególnego pozostało uwzględnić podane w treści zadania warunki początkowe.


Użytkownik janusz edytował ten post 05.05.2013 - 18:38

  • 0





Tematy podobne do: Równanie różniczkowe ruchu     x