Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Rozwiąż równanie różnicowe

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 gigaa1

gigaa1

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 08.04.2013 - 21:13

o1.jpg

 

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.04.2013 - 13:27

Nie wnikając w teorię równań rekurencyjnych(różnicowych), do której serdecznie zapraszam

np.patrz Ira Koźniewska - Równania rekurencyne Warszawa PWN 1972.

Przekształcamy nasze równanie do postaci

y_{t} =\frac{4}{5}\(y_{t-1}+\frac{55}{4}\) (0)

Znajdziemy rozwiązanie "na piechotę"

Podstawiamy kolejno:

 y_{t-1}=\frac{4}{5}\(y_{t-2} + \frac{55}{4}\),

y_{t}=\frac{4}{5}\(\frac{4}{5}y_{t-2}+\frac{55}{4}\)+\frac{55}{4}\),

y_{t}=\frac{4}{5}\(\frac{4}{5}\(y_{t-3}+\frac{15}{4}\)+\frac{15}{4}\)+\frac{15}{4}\),

itd.

y(t)=\frac{4}{5}\(\frac{4}{5}\(\frac{4}{5}...\frac{4}{5}(y_{0}+\frac{15}{4}\)...+\frac{15}{4}\)+\frac{15}{4}\). (1)

 

"Zwijamy" równanie (1)

 y_{t}=\(\frac{4}{5}\)^{t}y_{0}+S_{t} (2)

 

S_{t} jest t-tą sumą częściową ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym a_{1}=11 i ilorazie q=\frac{4}{5}

S_{t}=\frac{\11(1-\(\frac{4}{5}\)^{t}\)}{1-\frac{4}{5}}=55(1-\(\frac{4}{5}\)^{t}\).

 

Podstawiamy sumę i warunek początkowy do równania (2) i po przekształceniach otrzymujemy

y_{t}= y(t)=55- 35\(\frac{4}{5}\)^{t}. (3)

 

Dla pewności poprawności naszego rozwiązania pozostało sprawdzenie, czy funkcja (3) spełnia równanie (0).

 

Dla  t = 7

 y_{7}=y(7)= 55-35\(\frac{4}{5}\)^{7}= 47.659968. 

 

 


  • 1

#3 gigaa1

gigaa1

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 09.04.2013 - 15:45

Bardzo dziękuje za pomoc. Dobrze że są ludzie dla których matematyka nie sprawia problemu :) 


  • 0





Tematy podobne do: Rozwiąż równanie różnicowe     x