Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Rozwiąż równanie różniczkowe nie rozdzielając rózniczek

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 994 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.04.2013 - 10:42

Rozwiąz równanie:

xyy'=lnx

z warunkiem y(1)=1


Użytkownik kate84 edytował ten post 04.04.2013 - 10:43

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.09.2013 - 18:28

\bl xyy'=\ln x\ \ \ \ \ \ \ y(1)=1

 

„nie rozdzielając różniczek” - może chodziło o rozwiązanie jako równania zupełnego?

 

xyy'=\ln x\gr\ \Rightarrow\ \ln x-xyy'=0\gr\ \Rightarrow\ \ln x-xy\frac{dy}{dx}=0\ \ /\cdot dx\gr\ \Rightarrow\ \bl\ln xdx-xydy=0\ \ \ \(^{*1}\)

sprawdźmy czy jest ono zupełne

\{P(x,y)=\ln x\\Q(x,y)=-xy\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=0\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=-y\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\ \neq\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\gr\ \Rightarrow\ \ równanie nie jest zupełne

trzeba znaleźć czynnik całkujący, który doprowadzi do tego, że równanie będzie zupełne

a=\frac{1}{Q(x,y)}\(\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\)=\frac{-1}{xy}\[0-(-y)\]=-\frac1x\gr\ \Rightarrow\ a jest zależne tylko od zmiennej x,

więc czynnik całkujący \ \mu(x)=e^{\int adx}=e^{\int\(\frac{-1}{x}\)dx}=e^{-\ln x+C_1}=e^{\ln\frac1x+C_1}=e^{\ln\frac1x}\cdot e^{C_1}\gr\ \Rightarrow\ \bl \mu(x)=\frac{C_2}{x}

pomnożymy przez ten czynnik równanie \(^{*1}\)\gr\ \Rightarrow\ \bl \frac{C_2\ln x}{x}dx-C_2ydy=0\ \ \ \ \(^{*2}\)

\gr\ \Rightarrow\ \{P_1(x,y)=\frac{C_2\ln x}{x}\\Q_1(x,y)=-C_2y\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P_1(x,y)}{\partial y}=0\\\frac{\partial Q_1(x,y)}{\partial x}=0\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P_1(x,y)}{\partial y}\ =\ \frac{\partial Q_1(x,y)}{\partial x}\gr\ \Rightarrow\ \ równanie \(^{*2}\) jest zupełne

 

F(x,y)=\int P_1(x,y)dx+\varphi(y)=\int\frac{C_2\ln x}{x}dx+\varphi(y)\gr\ \Rightarrow\ F(x,y)=\frac{C_2}{2}\ln^2x+\varphi(y)

\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=Q_1(x,y)\gr\ \Rightarrow\ 0+\varphi'(y)=-C_2y\gr\ \Rightarrow\ \varphi(y)=\int(-C_2y)dy=-\frac{C_2y^2}{2}+C_3

 

\bl F(x,y)=\frac{C_2}{2}\ln^2x-\frac{C_2y^2}{2}+C_3

 

F(x,y)=0\gr\ \Rightarrow\ \frac{C_2}{2}\ln^2x-\frac{C_2y^2}{2}=-C_3\ \ /\cdot\frac{2}{C_2}\gr\ \Rightarrow\ \ln^2x-y^2=-\frac{2C_3}{C_2}\gr\ \Rightarrow\ \bl y^2=\ln^2x+C

 

y(1)=1\gr\ \Rightarrow\ 1^2=\ln^21+C\gr\ \Rightarrow\ 1=0+C\gr\ \Rightarrow\ \bl C=1\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ y=\sqrt{\ln^2x+1}\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..