Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Dwa stożki wpisane w kulę o tej samej podstawie

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2013 - 14:20

Witam,

Mamy dwa stożki wpisane w tą samą kule o tej samej podstawie. Jeden z nich ma pole boczne trzy razy większe niz drugi - obliczyć stosunek wysokości.

 

Jak to możliwe jest? 

Przecież - skoro ta sama podstawa? To jak one mogą nie przystawać? 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.03.2013 - 16:19

 Dwa stożki wpisane w kulę o tej samej podstawie

Kula nie posiada podstawy  :bigshock:

 

Przekrój przez środek kuli i oś stożków to deltoid wpisany w okrąg

pre_1364654817__2_stozki_w_kuli.jpg

tworząca większego stożka k_w=AC  z tw. Pitagorasa \bl k_w=\sqrt{H^2+r^2}

 

tworząca mniejszego stożka k_m=AD  z tw. Pitagorasa \bl k_m=\sqrt{h^2+r^2}

 

powierzchnia boczna większego stożka P_w=\p r k_w

 

powierzchnia boczna mniejszego stożka P_m=\p rk_m

 
\frac{P_w}{P_m}=\frac{\p rk_w}{\p rk_m}=\frac{k_w}{k_m}=\frac{\sqrt{H^2+r^2}}{\sqrt{h^2+r^2}}=3\gr\ \Rightarrow\ \frac{H^2+r^2}{h^2+r^2}=9\gr\ \Rightarrow\ \bl H^2+r^2=9h^2+9r^2\gr\ \Rightarrow\ \bl H^2-9h^2-8r^2=0
 
\Delta AEC i \Delta ADE są podobne, więc \ \ \ \frac{H}{r}=\frac{r}{h}\gr\ \Rightarrow\ \bl r^2=Hh
 
H^2-9h^2-8Hr=0\ \ /:h^2\gr\ \Rightarrow\ \frac{H^2}{h^2}-9-8\frac{H}{r}=0\ \ \ x=\frac{H}{h}\gr\ \Rightarrow\ \bl x^2-8x-9=0\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ x=\frac{H}{h}=9\ }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2013 - 21:15

Twierdzisz, że są podobne. Ale przecież mają wspólny bok - czyli skala jeden. ale równocześnie  bok AC jest trzy razy większy niż AD, a to jest już inna skala, jest tutaj więc nieporozumienie.


  • 0

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.03.2013 - 22:01

Twierdzisz, że są podobne. Ale przecież mają wspólny bok - ...

Nie patrz na to, że mają wspólny bok. Dla nas są to po prostu dwa trójkąty prostokątne. Jeden AEC, drugi ADE

 

\Delta ADC jest trójkątem prostokątnym, gdyż \angle CAD=90^o jako kąt wpisany oparty na średnicy

w takim razie

\angle ADE+\angle ACE=90^o\ \ \ \ \angle CAE+\angle ACE=90^o\gr\ \Rightarrow\ \bl \angle ADE=\angle CAE

ostatnia równość oznacza, że trójkąty prostokątne AEC i ADE mają jednakowe kąty, czyli są podobne. Z podobieństwa  zaś wynikają proporcje \frac{AE}{ED}=\frac{CE}{AE}\gr\ \Rightarrow\ \re \frac{r}{h}=\frac{H}{r}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2013 - 23:02

No nie mogę się z Tobą zgodzić mimo wszystko - tak słusznie uzasadniasz, że są podobne, ale ja równie słusznie uzasadniam, że są niepodobne. Kto ma rację ?


  • 0

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.03.2013 - 15:38

pre_1364739902__2_stozki_w_kuli_2.jpg

Mamy trzy trójkąty prostokątne:

zielony \Delta ADE\ \ \ \ \ niebieski \Delta AEC\ \ \ \ \ czerwony \Delta CDB

 

wszystkie mają odpowiednio równe kąty:

\ \ \ \angle EAD=\angle ECA=\angle BCD oraz \angle EDA=\angle EAC=\angle CDB

 

ponieważ mają wszystkie kąty odpowiednio równe, więc zgodnie z definicja, te trzy trójkąty są podobne

to, czy mają jakieś boki wspólne, czy przylegają do siebie w inny sposób, nie ma żadnego znaczenia

 

jeśli tego nie widzisz, to zmień okulistę  ;)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#7 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.04.2013 - 19:12

Ja bardzo chcę wiedzieć co jest tutaj grane. Tak, ja się zgadzam, że są podobne, ale dlaczego skala będzie inna ?


  • 0

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.04.2013 - 19:43

Skala podobieństwa:

 

trójkąta czerwonego do niebieskiego \ \ k_{cn}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{CE}=\frac{BD}{AE}=\frac{H+h}{\sqrt{H^2+r^2}

 

trójkąta czerwonego do zielonego \ \ k_{cz}=\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AE}=\frac{BD}{DE}=\frac Hr

 

trójkąta niebieskiego do zielonego \ \ k_{nz}=\frac{AC}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{AE}{DE}=\frac rh

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

 


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.04.2013 - 20:20

Masz znowu rację. Dzięki :)


Użytkownik xawery edytował ten post 01.04.2013 - 20:21

  • 0