Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

zadanie z obrotem

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
16 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2013 - 19:09

W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej. Bryła B1 powstała
 z obrotu trapezu wokół krótszej podstawy,a bryła B2 powstała z obrotu trapezu wokół dłuższej
 podstawy. Wyznacz stosunek objętnosci B1 i B2

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2013 - 20:15

Jeśli wykonamy staranne rysunki, to w pierwszym praypadku otrzymamy walec z dwoma identycznie wydrążonymi stożkami, w drugim przypadku walec z dwoma identycznymi "przyklejonymi" stożkami.

 

 \frac{V_{B1}}{V_{B2}}=\frac{\pi h^2\cdot 3x-\frac{2}{3}\pi h^2x}{\pi h^2 x+\frac{2}{3}\pi h^2 x} = \frac{\pi h^2 x(3-\frac{2}{3})}{\pi h^2 x(3+\frac{2}{3})}=\frac{7}{11}.


  • 2

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2013 - 21:39

Skąd wiadomo, że promień stożka będzie wynosił x? 


  • 0

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.03.2013 - 09:54

pre_1364373457__obrot_trapeza.jpg

z lewej strony mamy bryłę złożoną z walca o promieniu =h i wysokości =3a z wydrążonymi dwoma stożkami

objętość walca V_w=\p h^2\cdot3a 

objętość stożka V_s=\frac13\p h^2\cdot a

objętość bryły V_{B_1}=V_w-2V_s=\p h^2\cdot3a-2\cdot\frac13\p h^2\cdot a=\p h^2(3a-\frac23a)\gr\ \Rightarrow\ \bl V_{B_1}=\frac73\p h^2a

 

z prawej strony mamy bryłę złożoną z walca o promieniu =h i wysokości =a z dołączonymi dwoma stożkami

objętość walca V_w=\p h^2\cdot a 

objętość stożka V_s=\frac13\p h^2\cdot a

objętość bryły V_{B_2}=V_w+2V_s=\p h^2\cdot a+2\cdot\frac13\p h^2\cdot a=\p h^2(a+\frac23a)\gr\ \Rightarrow\ \bl V_{B_2}=\frac53\p h^2a

 

\frac{V_{B_1}}{V_{B_2}}=\frac{\frac73\p h^2a}{\frac53\p h^2a}=\ \re \frac75

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.03.2013 - 09:47

Czy te bryły Mają równe pola ?

 

P.S

Jaka bryła powstanie poprzez obrót wokół ramienia trapezu / trapezu równoramiennego ?


Użytkownik xawery edytował ten post 29.03.2013 - 15:19

  • 0

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.03.2013 - 15:28

Nie rozumiem Twojego toku rozumowania. Przeciez mamy dokładnie jedną bryłę - tą po lewej - ... skąd ten drugi rysunek ?

Przeczytaj treść zadania, którą sam napisałeś w pierwszym poście  :dancer2:

 

Jaka bryła powstanie poprzez obrót wokół ramienia trapezu / trapezu równoramiennego ?

Np. taka:

pre_1364566838__obrot_trapeza_2.jpg

Powstała bryła to stożek z dwoma wydrążeniami w kształcie stożków.

oznaczając stożek wierzchołkami trójkąta, z obrotu którego dany stożek powstaje

objętość tak powstałej bryły obrotowej 

\bl V=V_{AEB}-V_{AEG}-V_{DFC}+V_{DFG} 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#7 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.03.2013 - 15:55

Faktycznie - jak narysowałaś od razu widzę! :-)

Jak to robić, zeby wykonywac takie rysunki ?

Tzn, mam problem czasami, nie zawsze oczywiście. Np. dość ekstremalne jest obracać sześciokąt foremny wokół boku - możesz dać jakąś wskazówkę ?

 

 

P.S AC jest prostopadłe do BC, zaś kąt ostry mam miarę 60. DC = 1

Jak policzyć objętość w tym zadaniu z trapezem ?


Użytkownik xawery edytował ten post 29.03.2013 - 16:52

  • 0

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.03.2013 - 18:08

. dość ekstremalne jest obracać sześciokąt foremny wokół boku - możesz dać jakąś wskazówkę ?

Obracany wielokąt odbijamy symetrycznie względem osi obrotu, łączymy odpowiednie punkty i rozpatrujemy jakie otrzymamy składowe powstałej bryły.

pre_1364574635__obrot_szesciokata.jpg

taką bryłę obrotową zawsze można podzielić na części, którymi będą walce lub stożki

 

 

 Jak to robić, zeby wykonywac takie rysunki ?  

Trzeba ściągnąć z internetu program. Ja używam program „GeoGebra”

 

 

AC jest prostopadłe do BC, zaś kąt ostry mam miarę 60. DC = 1 Jak policzyć objętość w tym zadaniu z trapezem ?

podstaw do wzorów

\bl a=DC=\bl1\ \ \ \ \ \ h=\sqrt3a=\bl\sqrt3

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2013 - 18:24

A możesz policzyć objętość tego sześciokąta, zakładając, że bok wynosi a ?


  • 0

#10 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.03.2013 - 18:44

A możesz policzyć objętość tego sześciokąta, zakładając, że bok wynosi a ?

 

Sześciokąt nie ma objętości  :bigshock:

 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:


Objętość bryły powstałej przez obrót sześciokąta foremnego o boku a dookoła jednego boku:

 

V=\p \(sqrt3a\)^2a+2\[\frac13\p \(sqrt3a\)^2a-2\cdot\frac13\p\(\frac{sqrt3a}{2}\)^2\cdot\frac12a\]\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ V=4\frac12\cdot\p \cdot a^3\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#11 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2013 - 21:20

A gdybyś miała policzyć nie tylko objętość, a również pole  ;-) , ale tym razem tak, żebym wiedział co się dzieje :)


Użytkownik xawery edytował ten post 30.03.2013 - 21:21

  • 0

#12 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.03.2013 - 21:42

Bok DE po obrocie utworzy ścianę boczną walca, czyli prostokąt o długości równej obwodowi walca i szerokości równej bokowi.

więc pole P_w=2\p\sqrt3a\cdot a\gr\ \Rightarrow\ \bl P_w=2\sqrt3\p a^2

boki BC i CD po obrocie utworzą ściany, których powierzchnia jest równa powierzchni bocznej stożka o promieniu

podstawy BD=\sqrt3a i tworzącej =BC+CD=2a, więc ta powierzchnia P_s=\p\cdot\sqrt3a\cdot2a\gr\ \Rightarrow\ \bl P_s=2\sqrt3\p a^2

całkowite pole powierzchni powstałej bryły

P=P_w+2P_s=2\sqrt3\p a^2+2\cdot2\sqrt3\p a^2\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ P=6\sqrt3\p a^2\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#13 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2013 - 22:57

Wielkie dzięki :)

Jeszcze prośba o tamto z trapezem. Mam te miary, które poleciłaś ale dalej jest ciężko :)



Jak to możliwe, że masz dobry wynik ? Przecież uzyskamy nie stożek, a stożek ścięty z wyciętym stożkiem.


  • 0

#14 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.03.2013 - 15:22

Wielkie dzięki Jeszcze prośba o tamto z trapezem. Mam te miary, które poleciłaś ale dalej jest ciężko

\bl a=1\ \ \ \ h=sqrt3

 

\bl V_{B_1}=\frac73\p h^2a\gr\ \Rightarrow\ V_{B_1}=\frac73\p (sqrt3)^2\cdot1\gr\ \Rightarrow\ \re\ V_{B_1}=7\p

 

\bl V_{B_2}=\frac53\p h^2a\gr\ \Rightarrow\ V_{B_2}=\frac53\p (sqrt3)^2\cdot1\gr\ \Rightarrow\ \re V_{B_2}=5\p

 

 

 

Jak to możliwe, że masz dobry wynik ? Przecież uzyskamy nie stożek, a stożek ścięty z wyciętym stożkiem.

 

pre_1364738524__obrot_szesciokata_2.jpg

przedłużmy boki DC i D'C' do przecięcia w punkcie H

powierzchnia boczna stożka CC'H równa jest powierchni bocznej stożka CC'B

więc powierzchnia boczna stożka ściętego DD'CC' z powierzchnią boczną stożka CC'B jest równa

powierzchni bocznej stożka DD'H, a ten stożek ma promień podstawy DB=\sqrt3a i tworzącą DH=2a

więc jego powierzchnia boczna P_b=\p\cdot DB\cdot DH=\p\cdot\sqrt3a\cdot2a\gr\ \Rightarrow\ \re P_b=2\sqrt3\p a^2

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#15 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.04.2013 - 19:10

Nie pojmuję co się dzieje w tych obydwu rozwiązaniach. 

Z trapezem - Nie rozumie skąd bierzesz takie obliczenia.

 

A jeśli chodzi o ten sześciokąt. Powinniśmy liczyć Pole boczne Stożka DD'H. Potem odjąć od niego zdwojone pole stożka BC'C

A Ty jakby liczysz D'DH i wychodzi dobrze :) Co sie dzieje? 


  • 0

#16 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.04.2013 - 19:57

A jeśli chodzi o ten sześciokąt. Powinniśmy liczyć Pole boczne Stożka DD'H. Potem odjąć od niego zdwojone pole stożka BC'C

 

Nie.

Powierzchnia boczna górnej części bryły to powierzchnia boczna stożka ściętego DD'C'C powstała z obrotu boku DC plus powierzchnia boczna stożka CBC' powstała z obrotu boku BC

 

powierzchnia boczna stożka CBC' jest identyczna jak powierzchnia boczna fikcyjnego stożka CC'H

 

powierzchnia boczna stożka ściętego DD'C'C plus powierzchnia boczna fikcyjnego stożka CC'H jest powierzchnią boczną fikcyjnego stożka DD'H

 

stąd powierzchnia boczna górnej części bryły jest taka sama jak powierzchnia fikcyjnego stożka DD'H

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#17 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.04.2013 - 20:18

Masz rację!!!!!!!!!!!!!!

:-)

Wreszcie rozumiem. Ja mówiłem o objętości prawda, zaś nadgryzienie tylko powiększa to pole ?

 

Dzięki wielkie raz jeszcze :)

 

PS A z tym trapezem pomożesz mi ?


Użytkownik xawery edytował ten post 01.04.2013 - 20:19

  • 0