Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Stereometria - różne pytania

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
29 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.03.2013 - 23:08

Cześć!

Mam nie jedną wątpliwość co do tego działu, więc się tutaj zapytam.

 

1. Mamy kąt między prostą, a płaszczyzną. - czy zawsze muszę wykonać rzut najpierw prostej a potem dopiero kąt między rzutem a prostą ? Czy jeśli okaże się, że rzut jest prostopadły do jakiejś prostej l, to czy ta prosta jest prostopadła do tej prostej, której rzut wykonaliśmy ?

 

2. Kąt dwuścienny, czy zawsze muszę aby go wyznaczyć poprowadzić dwie proste prostopadłe do krawędzi kąta ?

 

3. Jeśli jakaś ściana ostrosłupa jest prostopadła do podstawy, to czy mogę twierdzić, że każda prosta leżąca na tej podstawie jest prostopadła do ściany bocznej ?


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.03.2013 - 10:29

*
Najwyższa ocena

1.

Zrób eksperyment. Trzymasz w ręku pręt dotykając nim podłogi. Pomyśl, jak określiłbyś kąt między tym prętem a podłogą.

 

Tak, jeśli prosta l leży na płaszczyźnie i przechodzi przez punkt styczności pierwszej prostej z płaszczyzną (punkt przebicia płaszczyzny przez prostą).

 

2.

Tak. Kąt dwuścienny jest to kąt między dwoma półprostymi wychodzącymi z jednego punktu krawędzi wspólnej płaszczyzn i prostopadłymi do tej krawędzi (oczywiście te dwie półproste należą do tych dwóch płaszczyzn).

 

3.

Nie. Tak, jeśli prosta jest prostopadła do boku wspólnego podstawy i ściany bocznej.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:
 

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2013 - 16:20

"Tak. Kąt dwuścienny jest to kąt między dwoma półprostymi wychodzącymi z jednego punktu krawędzi wspólnej płaszczyzn i prostopadłymi do tej krawędzi (oczywiście te dwie półproste należą do tych dwóch płaszczyzn)."

 

OK, a z czego można wyprowadzać te odcinki ? Z wierzchołka jednego, czy z czego ?

 

3. Możesz trochę to rozwinąć ?


  • 0

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.03.2013 - 18:58

*
Najwyższa ocena

2.

pre_1363887716__kat_dwuscienny.jpg

Nie ma znaczenia, z którego punktu wspólnej krawędzi dwóch płaszczyzn poprowadzimy półproste. Muszą one być prostopadłe do krawędzi. Kąt dwuścienny między płaszczyznami to kąt między tymi półprostymi, czyli kąt \beta.

 

3.

pre_1363887798__kat_dwuscienny_w_ostrosl

Ściana ACD jest prostopadła do podstawy, czyli kąt dwuścienny między nią a podstawą \angle DEM=90^o

tylko odcinek EM jest prostopadły do tej ściany

pozostałe odcinki należące do podstawy nie są prostopadłe do ściany bocznej

prostopadłe do ściany bocznej byłyby wszystkie odcinki równoległe do EM

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:
 
 

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2013 - 19:44

No dobra, ale czym jest to EM ?

Co do drugiego - jakie NAJCZĘŚCIEJ prowadzimy odcinki poza wysokościami ?

 

Nowe pytanie: Prawie zawsze możemy z treści wywnioskować położenie spodka wysokości. I czemu ja zawsze jak prowadzę odcinek z tego spodka do krawędzi podstawy to twierdzę że prowadzę go pod kątem prostym do krawędzi  podstawy (wiem, że dziwne pytanie, ale bardzo istotne dla mnie)


Użytkownik xawery edytował ten post 21.03.2013 - 19:53

  • 0

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.03.2013 - 20:23

*
Najwyższa ocena

No dobra, ale czym jest to EM ?

DE jest wysokością trójkąta ACD z wierzchołka D

EM nie jest jakimś szczególnym odcinkiem, jest tylko prostopadły do boku AC w punkcie E

ponieważ DE i EM są prostopadłe do wspólnej krawędzi ścian ABC i ACD w jednym punkcie E, więc kąt DEM jest kątem między ścianą a podstawą. W tym przypadku jest prosty.

 

Co do drugiego - jakie NAJCZĘŚCIEJ prowadzimy odcinki poza wysokościami ?  

W trójkącie mamy wiele szczególnych odcinków: wysokości, dwusieczne, środkowe, symetralne boków, promienie okręgów opisanego i wpisanego. Jakie z nich prowadzimy, to zależy od treści zadania i sposobu dochodzenia do rozwiązania.

 

Nowe pytanie: Prawie zawsze możemy z treści wywnioskować położenie spodka wysokości. I czemu ja zawsze jak prowadzę odcinek z tego spodka do krawędzi podstawy to twierdzę że prowadzę go pod kątem prostym do krawędzi  podstawy  

Odcinek ze spodka wysokości ostrosłupa prostopadły do boku podstawy wyznacza na tym boku punkt, który połączony z wierzchołkiem ostrosłupa jest wysokością ściany bocznej, czyli ten odcinek, wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny. Kąt między tym odcinkiem a wysokością ściany bocznej jest jednocześnie kątem nachylenia ściany do podstawy, czyli kątem dwuściennym między ścianą boczną a podstawą.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:
 

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#7 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.03.2013 - 20:46

Ok. W takim razie, zawsze jeśli poprowadzimy do ściany odcinek pod kątem prostym, to będzie on punktem na który spada wysokość sciany bocznej ?

Wydaje mi się, że nie, bo w wypadku wyprowadzenia odcinka ze spodka wysokości mame ten odcinek, który de'facto jest rzutem tej ściany bocznej ostrosłupa ( a potem twierdzenie o trzech prostych prostopadłych i wiemy, już że w tym miejscu pada wysokość ściany bocznej :-) )

Dobrze prawię?

 

 

P.S ale dlaczego EM jest prostopadłe a np. EL już nie ?


Użytkownik xawery edytował ten post 21.03.2013 - 20:47

  • 0

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.03.2013 - 21:03

*
Najwyższa ocena

W takim razie, zawsze jeśli poprowadzimy do ściany odcinek pod kątem prostym ...

Odcinek prowadzimy prostopadle do boku (odcinka) a nie do ściany.

Jeśli ten odcinek wychodzi ze spodka wysokości ostrosłupa, to wyznacza on punkt, na który spada wysokość ściany bocznej

 

 Wydaje mi się, że nie, bo w wypadku wyprowadzenia odcinka ze spodka wysokości mame ten odcinek, który de'facto jest rzutem tej ściany bocznej ostrosłupa  

Ten odcinek jest rzutem prostokątnym wysokości ściany (a nie rzutem ściany) na podstawę.

 

P.S ale dlaczego EM jest prostopadłe a np. EL już nie ?

EM jest prostopadłe, bo ja tak zaznaczyłam - kąt AEM to kąt prosty. Dlatego żaden z pozostałych odcinków nie może być prostopadły.

 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:
 

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.03.2013 - 00:03

Ok - prowadzimy odcinek z spodka do krawędzi. Twierdzę, że poprowadziłem odcinek prostopadły (bo taki na pewno istnieje). Teraz na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych w tym punkcie wspólnym krawędzi podstawy i tego odcinka, który poprowadziłem musi byś spodek wysokości ściany bocznej. No bo skoro rzut tej wysokości ściany (ten mój odcinek) jest prostopadły do krawędzi to sama prosta, która była rzutowana, też jest prostopadła do tej krawędzi, a to już jest na pewno wysokość ściany bocznej (skoro kąt prosty).

(ja staram się powyżej uzasadnić, że tam "spotyka" się odcinek, który prowadzę (prostopadły) z wysokością ściany bocznej.

Prawda? 

 

 

Czy wskażesz jakiś przykład, gdzie zamiast prowadzić ze spodka do krawędzi prowadzimy z czegoś innego do krawędzi bocznej ?


  • 0

#10 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.03.2013 - 20:58

*
Najwyższa ocena

http://matma4u.pl/to...ami-ostroslupa/

 

 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#11 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.03.2013 - 19:47

Mam nowe pytanie:

Jak to jest z tą wysokością OSTROSŁUPA? Czy każdy jakikolwiek  odcinek jest do niej prostopadły ?

Mam na myśli odcinki  należące do płasyczny podsatawy ?

Tak w ogóle dlaczego  zawsze do wysokości prowadzimy katy nachylenia (nawet płaszczyzn przekrojów)

Jakie warunki musi spełniać przekrój?  


  • 0

#12 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.03.2013 - 21:09

Wysokość ostrosłupa jest to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostopadłym na płaszczyznę, w której zawiera się podstawa ostrosłupa. Ten rzut nazywamy spodkiem wysokości. W ten sposób wysokość jest prostopadła do każdej prostej należącej do płaszczyzny zawierającej podstawę i przechodzącej przez spodek wysokości. W szczególności spodek wysokości może leżeć poza podstawą ostrosłupa. Wtedy mówimy o ostrosłupie pochyłym.

 

Nie jest prawdą, że kąty nachylenia zawsze odnosimy do wysokości.

Możemy mówić np. o odcinku ściany bocznej tworzącej zadany kąt ze środkową trójkątnej podstawy lub z przekątną wielokątnej podstawy itp.

 

Przekrój możemy zadać dowolnie. Ważne jest tylko to, żeby zdefiniowanie przekroju było jednoznaczne. 

Np. w ostrosłupie czworokątnym płaszczyzna przekroju zawiera przekątną podstawy i jest nachylona pod danym kątem do podstawy.

Albo - sześcian przekrojono taką płaszczyzną, że przekrój jest sześciokątem foremnym.

 

Pogrzeb trochę na forum w dziale stereometria a znajdziesz wiele przykładów, które pomogą Ci lepiej zrozumieć problem przekrojów brył.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

Użytkownik bb314 edytował ten post 25.03.2013 - 21:16

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#13 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.03.2013 - 19:26

Wielkie dzięki. Jeszcze jedno pytanie:

A jak określać jaki to przekrój - przecież to zależy - np. przekrój przez krawędź podstawy sześcianu - nie wiadomo, czy to trójkąt, czy trapez, o co tutaj chodzi ?


  • 0

#14 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.03.2013 - 20:47

*
Najwyższa ocena

W przypadku sześcianu nie ma znaczenia, przez którą krawędź pójdzie płaszczyzna „krojąca”. Wszystkie krawędzie są jednakowe.

Każdy przekrój sześcianu przez jego krawędź będzie prostokątem.

Przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez przekątną ściany (którejkolwiek - podstawa górna i dolna i ściany boczne to tylko umowne nazwy, bo wszystkie sześć ścian w sześcianie są jednakowymi kwadratami) może być trójkątem równoramiennym, trójkątem równobocznym, trapezem lub prostokątem, w zależności od kąta nachylenia płaszczyzny krojącej do tej ściany.

Przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jeden z jego wierzchołków, w zależności od kąta tej płaszczyzny, może być trójkątem, czworokątem lub pięciokątem. 

 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:
 

 


  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#15 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.03.2013 - 20:48

No właśnie. Czasami to jest trapez a czasami trójkąt. Jak mam sobie radzić  z tym (raz to, a raz to)


  • 0

#16 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.03.2013 - 21:28

To nie jest kwestia „jak masz sobie radzić”. To, czy powstanie trójkąt, trapez czy prostokąt, zależy od innych warunków definiujących przekrój, np. kąta nachylenia płaszczyzny przekroju.
 
Np.
Jeśli w zadaniu będzie powiedziane, że płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną ściany sześcianu i tylko jeden wierzchołek przeciwległej ściany, to przekrój będzie trójkątem równobocznym.
Jeśli w zadaniu będzie powiedziane, że płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną ściany sześcianu i dwa wierzchołki przeciwległej ściany, to przekrój będzie prostokątem.
Jeśli w zadaniu będzie powiedziane, że płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną ściany sześcianu i przecina dwie krawędzie przeciwległej ściany, to przekrój będzie trapezem równoramiennym.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#17 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.03.2013 - 23:08

A co jesli będzie informacja uboższa, ale będzie dodatkowo o kącie nachylenia? 


  • 0

#18 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.03.2013 - 20:42

Wtedy potrzebne do rozwiązania odcinki wyliczy się z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych danego kąta.

 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:   \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#19 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.04.2013 - 20:29

Mam kolejne pytanie.

mamy zadania z wpisanymi / opisanymi kulami. Zawsze należy wziąć przekrój odpowiedni - czy to stożka czy też ostrosłupa prawidłowego. W przeciwnym razie trudno sobie poradzić - ten trójkąt leży idealnie "w centrum" bryły, a na wysokości swojej (a jednocześnie ostrosłupa) ma środek kuli (wpisane czy też opisanej). Tak mogę zakladać jak tutaj piszę ?

 

2. Jak wyprowadzić wzór na R kuli opisanej na czworościanie foremnym od boku a;


  • 0

#20 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.04.2013 - 22:31

Tak mogę zakladać jak tutaj piszę ?

Tak.

 

 

Jak wyprowadzić wzór na R kuli opisanej na czworościanie foremnym od boku a;

 

Mamy czworościan  ABCS o boku a wpisany w kulę o promieniu R i środku w O

z lewej strony jest przekrój przez wierzchołek S i wysokość podstawy czworościanu AD

z prawej strony jest przekrój płaszczyzną zawierającą podstawę ABC czworościanu

pre_1364846715__czworoscian_w_kuli.jpg

wysokość ściany czworościanu \ \ \bl h=\frac{sqrt3}{2}a

promień okręgu opisanego na \Delta ABC\ \ \ r=\frac23h=\frac23\cdot \frac{sqrt3}{2}a\gr\ \Rightarrow\ \bl r=\frac{a}{sqrt3}

z tw. Pitagorasa w \Delta AHO\ \ \ \ HO^2=R^2-r^2=R^2-\frac{a^2}{3}\gr\ \Rightarrow\ HO=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}

z tw. Pitagorasa w \Delta AHS\ \ \ \ HS^2=a^2-r^2\gr\ \Rightarrow\ (HO+R)^2=a^2-\frac{a^2}{3}\gr\ \Rightarrow\ HO^2+2\cdot HO\cdot R+R^2=\frac23a^2

 

R^2-\frac{a^2}{3}+2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}\cdot R+R^2=\frac23a^2\gr\ \Rightarrow\ 2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}\cdot R=a^2-2R^2\ \ /^2\gr\ \Rightarrow\

 

\gr\ \Rightarrow\ 4\(R^2-\frac{a^2}{3}\)\cdot R^2=a^4-4a^2R^2+4R^4\gr\ \Rightarrow\ 4R^4-\frac43a^2R^2=a^4-4a^2R^2+4R^4\gr\ \Rightarrow\

 

\gr\ \Rightarrow\ 4a^2R^2-\frac43a^2R^2=a^4\gr\ \Rightarrow\ \frac83a^2R^2=a^4\gr\ \Rightarrow\ \frac83R^2=a^2\gr\ \Rightarrow\ R^2=\frac38a^2=\frac{6}{16}a^2\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ R=\frac{sqrt6}{4}a\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:  \ :shifty:


  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..