Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

grupa

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Iwona9

Iwona9

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2013 - 16:12

Niech (G, ·) będzie grupą i niech funkcja f : G → A będzie bijekcją. Wykazać, że
jeśli działanie ⊗ w zbiorze A jest określone wzorem a ⊗ b = f(f−1(a) · f−1(b)), to
struktura algebraiczna (A,⊗) jest grupą.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1144
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2013 - 23:28

1)

(a\otimes b)\otimes c=f\(f^{-1}\(f[f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b)]\)\cdot f^{-1}( c)\)=f\(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b)\cdot f^{-1}( c)\)=\\=f\(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}\(f[f^{-1}(b)\cdot f^{-1}( c)]\)\)=a\otimes(b\otimes c)

 

czyli \otimes jest łączne.

 

2)

G ma element neutralny e, więc:

 

a\otimes f(e)=f\(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}\(f(e)\)\)=f\(f^{-1}(a)\cdot e\)=f\(f^{-1}(a)\)=a\\f(e)\otimes a=f\(f^{-1}\(f(e)\)\cdot f^{-1}(a)\)=f\(e\cdot f^{-1}(a)\)=f\(f^{-1}(a)\)=a

 

zatem f(e) jest elementem neutralnym \otimes.

 

3)

Każdy element g\in G ma element odwrotny g^{-1}, stąd:

 

a\otimes f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\)=f\(f^{-1}(a)\cdot \[f^{-1}(a)\]^{-1}\)=f(e)\\f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\)\otimes a=f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\cdot f^{-1}(a)\)=f(e)

 

więc każdy element a\in A ma element odwrotny f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\)

 

Z 1-3 wynika, że (A,\otimes) jest grupą.


  • 0





Tematy podobne do: grupa     x