Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Eksrema funkcji uwiłanej

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.02.2013 - 16:45

Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej danej w postaci (x^2+y^2)^2-8(x^2-y^2)=0
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.10.2018 - 23:53

F(x,y)=(x^2+y^2)^2-8(x^2-y^2)
F'_x=2(x^2+y^2)\cd2x-16x=4x^3+4xy^2-16x=4x(x^2+y^2-4)
F''_{xx}=12x^2+4y^2-16=4(3x^2+y^2-4)
F'_y=2(x^2+y^2)\cd2y+16y=4x^2y+4y^3+16y=4y(x^2+y^2+4)
ekstremum istnieje, gdy
\{F(x,y)=0\\F'_x=0\\\fr{F''_{xx}}{F'_y}\neq0  \quad\to\quad \{(x^2+y^2)^2-8(x^2-y^2)=0\\4x(x^2+y^2-4)=0\\\fr{3x^2+y^2-4}{y(x^2+y^2+4)}\neq0
z drugiego  4x(x^2+y^2-4)=0 \quad\to\quad x=0\ \vee\ x^2+y^2=4
podstawiając do pierwszego  \{y^4+8y^2=0 \quad\to\quad y=0\ \ \ odpada\\\ lub\\4^2-8(x^2-y^2)=0 \quad\to\quad x^2-y^2=2
\{x^2-y^2=2\\x^2+y^2=4   \quad\to\quad x=\pm\sq3\ \wedge\ y=\pm1
sprawdzamy trzecie równanie
\fr{3\cd3+1-4}{(\pm1)(3+1+4)}=\pm\fr34
warunek jest spełniony
(-\sq3,-1)\ i\ (\sq3,-1)  są minima lokalne, w  (-\sq3,1)\ i\ (\sq3,1)  są maksima lokalne

  • 0