Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

podzielność sumy cyfr

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 iwonad80

iwonad80

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 330 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2013 - 22:34

Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówka: zbadaj podzielność sumy cyfr.

Zadania pochodzi z próbnej matury z Operonem i Gazetą Wyborczą, listopad 2009
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 irena_1

irena_1

    Operator całkujący

  • VIP
  • 487 postów
296
Instruktor I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.01.2013 - 09:32

Najtrudniejsze tu właśnie jest obliczenie sumy cyfr liczby.

Ta liczba to:
246810121416...98100

Najlepiej chyba pogrupować tę sumę tak:

Suma cyfr liczb jednocyfrowych:
2+4+6+8=20

Suma cyfr liczb dwucyfrowych od 10 do 18:
0+2+4+6+8+5\cdot1=20+5

Suma cyfr liczb od 20 do 28:
0+2+4+6+8+5\cdot2=20+10

Suma cyfr liczb od 30 do 38:
0+2+4+6+8+5\cdot3=20+15

.

.

.

Suma cyfr liczb od 90 do 98:
0+2+4+6+8+5\cdot9=20+45

I jeszcze suma cyfr liczby 100:
1+0+0=1

Otrzymujemy sumę:
20+20+5+20+10+20+15+...+20+40+20+45+1=10\cdot20+(5+10+15+...+45)+1=\\=201+\frac{5+45}{2}\cdot9=201+225=426

Suma cyfr tej liczby jest równa 426. Liczba 426 dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Nasza liczba jest więc liczbą podzielną przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Jeśli kwadrat liczby naturalnej n dzieli się przez 3, to liczba n musi dzielić się przez 3, ale wtedy kwadrat liczby n musi dzielić się przez 3^2=9.

Ponieważ nasza liczba dzieli się przez 3 i nie dzieli się przez 9, nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.
  • 1

#3 iwonad80

iwonad80

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 330 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.01.2013 - 19:30

Najtrudniejsze tu właśnie jest obliczenie sumy cyfr liczby.

Ta liczba to:
246810121416...98100

Najlepiej chyba pogrupować tę sumę tak:

Suma cyfr liczb jednocyfrowych:
2+4+6+8=20

Suma cyfr liczb dwucyfrowych od 10 do 18:
0+2+4+6+8+5\cdot1=20+5

Suma cyfr liczb od 20 do 28:
0+2+4+6+8+5\cdot2=20+10

Suma cyfr liczb od 30 do 38:
0+2+4+6+8+5\cdot3=20+15

.

.

.

Suma cyfr liczb od 90 do 98:
0+2+4+6+8+5\cdot9=20+45

I jeszcze suma cyfr liczby 100:
1+0+0=1

Otrzymujemy sumę:
20+20+5+20+10+20+15+...+20+40+20+45+1=10\cdot20+(5+10+15+...+45)+1=\\=201+\frac{5+45}{2}\cdot9=201+225=426

Suma cyfr tej liczby jest równa 426. Liczba 426 dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Nasza liczba jest więc liczbą podzielną przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Jeśli kwadrat liczby naturalnej n dzieli się przez 3, to liczba n musi dzielić się przez 3, ale wtedy kwadrat liczby n musi dzielić się przez 3^2=9.

Ponieważ nasza liczba dzieli się przez 3 i nie dzieli się przez 9, nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.

Dzięki ogromne, też doliczyłam się do tych 426 i nie wiedziłam co mi daje, to, że ta liczba jest podzielna przez 3 i 2. Dzięki jeszcze raz za obszerne wyjaśnienia.

Użytkownik iwonad80 edytował ten post 23.01.2013 - 19:30

  • 0