Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Promaster93

Promaster93

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2013 - 22:46

zadanie:
n((n+1)^(1/n) − 1) < 1 + 1/2 + ... + 1/n




Wskazowka
Z zaleznosci miedzy srednia arytetyczna i srednia geometryczna otrzymujemy:
2/1+3/2+4/3+...+(n+1)/n>n(n+1)^(1/n)
Stad
1 + 1 + 1 + 1/2 + 1 + 3/2 + ... + 1 + 1/n > n(n + 1)^(1/n)
Zatem
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n > n((n + 1)^(1/n) − 1)

Prosze o rozwiazanie tego zadania albo jakas wskazowke bo sam nie moge sobie z nim poradzic a walcze z nim 3 dni :(.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 darlove

darlove

    Druga pochodna

  • VIP
  • 131 postów
44
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.01.2013 - 20:03

Zauwaz, ze

n+1=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n}{n-1}\cdots\frac{2}{1}.

Stad latwo wynika, ze

(n+1)^{\frac{1}{n}}\lt\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{i+1}{i}}{n}.

A dalej juz powinno byc proste...

Teraz zauwazylem, ze to ma byc z indukcji :) Sorry, podalem dowod poslugujac sie faktem, ze srednia geometryczna jest niewieksza od arytmetycznej. To akurat wynika z wypuklosci logarytmu... ale mozna tez tego dowiesc indukcyjnie.

Użytkownik darlove edytował ten post 23.01.2013 - 20:53

  • 0