Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykaż nierówność za pomocą pochodnej

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2013 - 12:49

Przy pomocy pochodnych wykaż nierówność x^4+2x^3+3x^2+2x+2>0
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2013 - 13:45

A po co pochodne? :P Zwiń to w kwadraty i po sprawie:

x^4+2x^3+3x^2+2x+2\quad=\quad (x+\frac{1}{2})^4+\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{31}{16}\quad=\quad (x+\frac{1}{2})^4+\frac{3}{2}(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{25}{16}\quad=\quad\\\quad=\quad (x+\frac{1}{2})^4+\frac{3}{2}(x+\frac{1}{2})^2+\frac{25}{16}

... i już widać, że wyrażenie jest dodatnie dla każdego x\in \text{R}

Jak masz wymóg użycia pochodnych, no to liczysz ją:

f'(x)=(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)'\quad=\quad 4x^3+6x^2+6x+2

Jego jedynym miejscem zerowym jest \frac{1}{2}, więc rozkładamy:

4x^3+6x^2+6x+2\quad=\quad 4(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)

... a więc funkcja f(x) ma tylko jedno ekstremum w punkcie x=-\frac{1}{2}. f(-\frac{1}{2})=\frac{25}{16}>0. Teraz tylko zostały formalności, czyli że to jest jej minimum, i że dla x\to \pm\infty wartość funkcji dąży do +\infty.

Użytkownik Tomalla edytował ten post 12.01.2013 - 13:46

  • 1
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=