Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka, lemniskata Bernuliego

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.01.2013 - 18:01

Nie mam pojęcia jak to rozwiązać:

Obliczyć całkę z funkcji y=x (\sqrt{x^2 + y^2} )

Gdzie obszarem D: x \ge 0, (x^2+y^2)^2 \le 4(x^2-y^2)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.01.2013 - 20:59

Współrzedne biegunowe:
 x = r\cos(\phi), y = r\sin(\phi) , r = 2\sqrt{\cos(2\phi)}

 I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sqrt{\cos(2\phi)} cos(\phi)\cdot 4\cos(2\phi)d\phi =...
  • 1

#3 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.01.2013 - 21:19

a jak przeszedłeś nagle na pojedynczą całkę? Pokażesz to przejście tylko?

o kurcze, i jak tę całkę rozpykać?

a przez jakobian zostało pomnożone czy jak, bo trochę nie rozumiem przejścia :(
  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.01.2013 - 21:30

Narysuj lemniskatę Bernoulli ( pół elipsy symetrycznej względem Osi Ox ). Wprowadź promień zaczynający się w punkcie  (0,0) a kończący się w punkcie krzywej ( podstawiamy współrzędne biegunowe do równania krzywej)
 r^4 \leq 4 r^2(\cos^2(\phi) - sin^2(\phi) ) = 4 r^2(\cos(2\phi)
Stąd
 r \leq 2 \sqrt{\cos(2\phi)}.
 (r = 0) \rightarrow (\cos(2\phi) = 0),	\phi = \frac{\pi}{4}.
Pamiętamy o jakobianie  r - współrzędnych biegunowych.

Użytkownik janusz edytował ten post 09.01.2013 - 21:31

  • 1

#5 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.01.2013 - 21:58

a masz pomysł na całkę oznaczoną, jak ją zrobić?

albo gdybyś mógł napisać, jak to wpisać w Wolfrana, by sprawdzić sobie wynik... byłbym bardzo wdzięczny.
  • 0

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.01.2013 - 15:47

W opisie obszaru całkowania  (D) mamy nierówność więc, musimy policzyć całkę nie po lemniskacie a po obszarze zawartym między tą krzywą i osią  Ox.
 C = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{2\sqrt{\cos(2\phi)}}r^3\cos(\phi)d\phi

Nie korzystam z Wolfram Alpha.
  • 1

#7 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.01.2013 - 17:52

a możesz podać wynik, to sprawdzę czy mi się zgadza?

bo ta całka straszna wychodzi
  • 0

#8 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.01.2013 - 18:36

Dlaczego straszna wychodzi. Pokaż jak ją obliczasz.
  • 0

#9 renta

renta

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 434 postów
13
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.01.2013 - 18:49

nawet nie wiem jak zacząć, na pewno przez podstawienie, ale jakie? Jak to będę wiedział to dalej chyba dam radę :)

końcowy wynik wyszedł mi (po wyliczeniu całki z wolfana) \frac{3\sqrt{2}arcsin\frac{\pi}{4}}{2}, ale nie wiem czy to dobrze jest.
  • 0

#10 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.01.2013 - 20:01

Proponuję uwzględnić najpierw całkę nieoznaczoną i po znalezieniu funkcji pierwotnych podstawić do równania (1) uwzględniając granice całkowania  0, \ \frac{\pi}{4}

 4 \int ( cos^2(2\phi)\cos(\phi) d\phi= 4\int ( \cos^2(\phi) - \sin^2(\phi))^2 \cos(\phi) = 4\int \cos^5(\phi)d\phi -8\int \cos^2(\phi)\sin^2(\phi)\cos(\phi)d\phi+
 + 4\int \sin^4(\phi)\cos(\phi))d\phi. (1)

I_{1} = \int \cos^5(\phi)d\phi = \int (\cos^2(\phi))^2\cos(\phi) = \int( 1 -sin^{2}\(\phi))^2\cos(\phi)d\phi - podstawienie \sin(\phi) = t.
 I_{2} = \int \cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi = \int (1 -\sin^2(\phi)) sin^2(\phi)\cos(\phi)d\phi - podstawienie  \sin(\phi) = t.
 I_{3}= \int \sin^4(\phi)\cos(\phi))d\phi - podstawienie  \sin(\phi) = t.

Użytkownik janusz edytował ten post 10.01.2013 - 20:01

  • 1