Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Aproksymacja średniokwadratowa

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 rusq

rusq

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 13 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.01.2013 - 01:11

Dokonaj aproksymacji średniokwadratowej za pomocą funkcji postaci y=a+b*x^2, oraz podać wartość błędu średniokwadratowego.
Dane do aproksymacji;
X: 1; 2; 4; 5;
Y: 3; 4; 6; 2;
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.01.2013 - 16:18

Zaczniemy od stworzenia równania macierzowego:

\begin{bmatrix} 4&12&46\\12&46&198\\46&198&898 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a\\a_1\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15\\45\\165 \end{bmatrix}

W naszej aproksymacji a_1=0 więc macierz upraszcza się do postaci:

\begin{bmatrix} 4&46\\46&898 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15\\165 \end{bmatrix}

z tego już łatwo wyznaczyć a i b. Mam nadzieje że nigdzie błędów w obliczeniach nie zrobiłem bo mało przyjemne wyniki wychodzą. Masz gdzieś odpowiedzi?

Wzory z których korzystałem to dla pierwszej macierzy:

c_{wk}=\sum x_i^{w+k}

I dla macierzy po prawej stronie znaku równości

b_w=\sum y_i x_i ^w

Błąd obliczasz ze wzoru:

\Delta=\frac{1}{N} \cdot \sum (y(x_i)-y_i)^2 gdzie N to ilość pomiarów.

\pozdrawiam Krzysztof :)

Użytkownik bronstein edytował ten post 06.01.2013 - 16:25

  • 1

#3 rusq

rusq

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 13 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.01.2013 - 16:27

Niestety nie mam odpowiedzi.
Wielki dzięki za pomoc :D
  • 0

#4 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.01.2013 - 16:30

Niestety nie mam odpowiedzi.
Wielki dzięki za pomoc :D


To mam nadzieję że jest poprawnie bo z tego co mówił zadania miałby być dobre tak aby ładne wyniki wychodziły a po obliczeniach a i b nie wygląda to sympatycznie :P
  • 0

#5 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.01.2013 - 18:54

Proponuję, ze względu na niewielką liczbę danych rozwiązać to zadanie " na piechotę".

Tworzymy funkcję aproksymującą w sensie najmniejszych kwadratów:
 f(a, b) = ( 3 - a - b )^2 + (4 - a - 4b)^2 + ( 6 - a -16b)^2 + ( 2 - a -25b)^2.

Znajdujemy punkty eksremalne funkcji  f(a, b)
f'_{|a}(a,b) = -2(3 -a -b) -2(4 -a -4b) -2(6 -a -16b) -2(2 -a -25b) = 0,
 f'_{|b}(a, b) = -2( 3 - a - b ) -8 (4 - a -4b) - 32( 6 - a -16b) - 50 ( 2 -a -25b)= 0
Stąd ( proszę sprawdzić!)
 8a + 122b = 30,
 92a + 1796 b = 330,
 a* = 4,322, b* = - 0,038.
Czy wartości tych współczynników minimalizują funkcję sumy kwadratów?
 f''_{|a|a} (a, b) = 2 + 2 +2 +2 = 8 >0,
 f"_{|a|b}(a,b) = f"_{|b|a}(a,b) = 2 + 8 +32 +50 =90>0,
 f''_{|b|b}(a,b) = 2 + 32+ 512 + 1250 = 1796 >0.
Macierz drugiej różniczki jest zatem dodatnio określona, więc są to rzeczywiście punkty minimum lokalnego funkcji  f.
Funkcja aproksymująca
 y* = 4.322 - 0.038 x^2.

Pozostało obliczenie błędu średniokwadratowego
 \Delta^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{4} (y_{n} - y*(x_{n}))^2,
co nie powinno sprawić trudności.

Użytkownik janusz edytował ten post 06.01.2013 - 21:35

  • 1





Tematy podobne do: Aproksymacja średniokwadratowa     x