Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykazać nastepującą równość


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.10.2007 - 18:36

Niech u(d) będzie funkcją nierosnąca pokazać ze zachodzi następująca równość :

inf{d:u(d)≤t} = sup{d:u(d)>t}

byłbym bardzo wdzięczny za uzasadnienie tej równości.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.11.2007 - 01:45

Niech u(d) będzie funkcją nierosnąca pokazać ze zachodzi następująca równość :
inf{d:u(d)≤t} = sup{d:u(d)>t}
byłbym bardzo wdzięczny za uzasadnienie tej równości.


Rozpiszę nieco więcej niż potrzeba, ale powinno to wyglądać dzięki temu przejrzyście.
Zadanie to posiada kilka elementów niedookreślonych. Mam nadzieję, że poniższe rozwiązanie będzie aplikowalne.


Połóżmy dowolne, ale określone A^{+}={d:u(d)>t}, A^{0}={d:u(d)=t}, A^{-}={d:u(d)<t}. Oczywiście, zbiory te są rozłączne (niekoniecznie niepuste, lecz nie przejmujmy się tym) i sumują się do całej dziedziny.
Jednocześnie, z faktu monotoniczności funkcji wynika, że dla każdej trójki d_{1}<d_{2}<d_{3}.

Oczywiście, zbiór A^{0-} i A^{+} w taki sposób, że dla dowolnej pary liczb d_{1}<d_{2}.

Zaś z faktu, że zachodzi ostatnia nierówność dla dowolnie wybranych elementów ze zbiorów będących rozbiciem dziedziny oraz z faktu ciągłości dziedziny wynika, że infA^{0-}=supA^{+}, co było do udowodnienia.


Przyznaję szczerze, że poczyniłem sobie założenie o ciągłości i spójności dziedziny i nie opisałem sytuacji, gdy któryś z pojawiającej się na końcu pary zbiorów jest pusty, ale myślę, że sam opis zarysował sposób docierania do rozwiązania.
  • 0