Niech u(d) będzie funkcją nierosnąca pokazać ze zachodzi następująca równość :
inf{d:u(d)≤t} = sup{d:u(d)>t}
byłbym bardzo wdzięczny za uzasadnienie tej równości.
Wykazać nastepującą równość
Rozpoczęty przez bronstein, Oct 13 2007 18:36
1 odpowiedź w tym temacie
#1
Napisano 13.10.2007 - 18:36
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 29.11.2007 - 01:45
Niech u(d) będzie funkcją nierosnąca pokazać ze zachodzi następująca równość :
inf{d:u(d)≤t} = sup{d:u(d)>t}
byłbym bardzo wdzięczny za uzasadnienie tej równości.
Rozpiszę nieco więcej niż potrzeba, ale powinno to wyglądać dzięki temu przejrzyście.
Zadanie to posiada kilka elementów niedookreślonych. Mam nadzieję, że poniższe rozwiązanie będzie aplikowalne.
Połóżmy dowolne, ale określone , , . Oczywiście, zbiory te są rozłączne (niekoniecznie niepuste, lecz nie przejmujmy się tym) i sumują się do całej dziedziny.
Jednocześnie, z faktu monotoniczności funkcji wynika, że dla każdej trójki .
Oczywiście, zbiór i w taki sposób, że dla dowolnej pary liczb .
Zaś z faktu, że zachodzi ostatnia nierówność dla dowolnie wybranych elementów ze zbiorów będących rozbiciem dziedziny oraz z faktu ciągłości dziedziny wynika, że , co było do udowodnienia.
Przyznaję szczerze, że poczyniłem sobie założenie o ciągłości i spójności dziedziny i nie opisałem sytuacji, gdy któryś z pojawiającej się na końcu pary zbiorów jest pusty, ale myślę, że sam opis zarysował sposób docierania do rozwiązania.