Jeśli mam, że R â â2, xRy â y < 2x, to mam zbadać powyższe własności:
1. Dziedzina
2. Przeciwdziedzina
3. Relację odwrotną
a) zwrotna
b) przeciwzwrotna
c) symetryczna
d) przeciwsymetryczna
e) antysymetryczna
f) przechodnia
g) spójna
Zbadałem, ale nie wiem czy dobrze to pojmuję i robię. Proszę o sprawdzenie:
1. Dziedzina:
D( R ) = {a â A : (a, b) â R} = {a â A : aRb}
Z definicji wynika, że: D( R ) = â
2. Przeciwdziedzina:
âą( R ) = {b â B : (a, b) â R} = {b â B : aRb}
Z definicji wynika, że: âą( R ) = â
3. Relacja odwrotna:
Râ1 = {(b, a) â B x A : aRb}
Z definicji wynika, że: Râ1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); ...}
Ad. a) â Zwrotna
xRx â x < 2x, co jest prawdą, bo np. x = 1, to w(1 < 2) = 1
Ad. b) â Przeciwzwrotna
~(xRx) â ~(x < 2x) â x ⼠2x, co jest nieprawdą, bo np. x = 1, to w(1 ⼠2) = 0
Ad c) â Symetryczna
(xRy â yRx) â [(y < 2x) â (x < 2y)], co jest nieprawdą, bo np. x = 2 i y = 1, to [(1 < 4) â (2 < 2)], czyli w(1 â 0) = 0
Ad. d) â Przeciwsymetryczna
[(xRy â ~(yRx)] â [(y < 2x) â ~(x < 2y)] â [(y < 2x) â (x ⼠2y)], co jest nieprawdą bo np. x = 1 i y = 1, to [(1 < 2) â (1 ⼠2)], czyli w(1 â 0) = 0
Ad. e) â Antysymetryczna
[(xRy ⧠yRx) â (x = y)] â [(y < 2x) ⧠(x < 2y) â x = y], co jest prawdą, bo np. x = 2 i y = 2, to [(2 < 4) ⧠(2 < 4) â 2 = 2], więc w[(1 ⧠1) â 1] = 1
Ad. f) â Przechodnia
[(xRy ⧠yRz) â xRz] â [(y < 2x) ⧠(z < 2y) â (z < 2x)], co jest prawdziwe, bo np. x = 2 i y = 1 i z = 1, to [(1 < 4) ⧠(1 < 2 ) â 1 < 4], więc w[(1 ⧠1) â 1] = 1
Ad. g) â Spójna
(xRy ⨠yRx) â (y < 2x ⨠x < 2y), co jest prawdziwe, bo np x = 2 i y = 1, to (1 < 4 ⨠2 < 2), więc w(1 ⨠0) = 1
Użytkownik anton86993 edytował ten post 10.11.2012 - 18:16