Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Relacje i w iloczynie kartezjańskim - proszę o pomoc

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 anton86993

anton86993

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.11.2012 - 23:33

Witam! Proszę o sprawdzenie, czy zrobiłem to dobrze. Od razu dodam, że dla mnie liczby naturalne są bez 0. Mam wyznaczyć obraz, przeciwobraz, relację odwrotną i zbadać własności.

Jeśli mam, że R ⊆ ℕ2, xRy ⇔ y < 2x, to mam zbadać powyższe własności:

1. Dziedzina
2. Przeciwdziedzina
3. Relację odwrotną

a) zwrotna
b) przeciwzwrotna
c) symetryczna
d) przeciwsymetryczna
e) antysymetryczna
f) przechodnia
g) spójna

Zbadałem, ale nie wiem czy dobrze to pojmuję i robię. Proszę o sprawdzenie:

1. Dziedzina:

D( R ) = {a ∊ A : (a, b) ∊ R} = {a ∊ A : aRb}
Z definicji wynika, że: D( R ) = ℕ

2. Przeciwdziedzina:

Ɑ( R ) = {b ∊ B : (a, b) ∊ R} = {b ∊ B : aRb}
Z definicji wynika, że: âą­( R ) = ℕ

3. Relacja odwrotna:

R−1 = {(b, a) ∊ B x A : aRb}
Z definicji wynika, że: R−1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); ...}

Ad. a) − Zwrotna

xRx ⇔ x < 2x, co jest prawdą, bo np. x = 1, to w(1 < 2) = 1

Ad. b) − Przeciwzwrotna

~(xRx) ⇔ ~(x < 2x) ⇔ x ≥ 2x, co jest nieprawdą, bo np. x = 1, to w(1 ≥ 2) = 0

Ad c) − Symetryczna

(xRy ⇒ yRx) ⇔ [(y < 2x) ⇒ (x < 2y)], co jest nieprawdą, bo np. x = 2 i y = 1, to [(1 < 4) ⇒ (2 < 2)], czyli w(1 ⇒ 0) = 0

Ad. d) − Przeciwsymetryczna

[(xRy ⇒ ~(yRx)] ⇔ [(y < 2x) ⇒ ~(x < 2y)] ⇔ [(y < 2x) ⇒ (x ≥ 2y)], co jest nieprawdą bo np. x = 1 i y = 1, to [(1 < 2) ⇒ (1 ≥ 2)], czyli w(1 ⇒ 0) = 0

Ad. e) − Antysymetryczna

[(xRy ∧ yRx) ⇒ (x = y)] ⇔ [(y < 2x) ∧ (x < 2y) ⇒ x = y], co jest prawdą, bo np. x = 2 i y = 2, to [(2 < 4) ∧ (2 < 4) ⇒ 2 = 2], więc w[(1 ∧ 1) ⇒ 1] = 1

Ad. f) − Przechodnia

[(xRy ∧ yRz) ⇒ xRz] ⇔ [(y < 2x) ∧ (z < 2y) ⇒ (z < 2x)], co jest prawdziwe, bo np. x = 2 i y = 1 i z = 1, to [(1 < 4) ∧ (1 < 2 ) ⇒ 1 < 4], więc w[(1 ∧ 1) ⇒ 1] = 1

Ad. g) − Spójna

(xRy ∨ yRx) ⇔ (y < 2x ∨ x < 2y), co jest prawdziwe, bo np x = 2 i y = 1, to (1 < 4 ∨ 2 < 2), więc w(1 ∨ 0) = 1

Użytkownik anton86993 edytował ten post 10.11.2012 - 18:16

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.11.2012 - 10:47

Wygląda to elegencko. Gratuluję.
Dołącz wykres relacji ( półpłaszczyzny o równaniu  y < 2x "podziurkowanej" współrzędnymi naturalnymi).
  • 0

#3 anton86993

anton86993

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.11.2012 - 18:28

Dołączam wykres relacji W( R ) = {(a, b) : aRb}

Dołączona grafika

Btw. Dobrze jest to wszystko zrobione?
  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.11.2012 - 18:41

Dobrze.
  • 0

#5 anton86993

anton86993

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.11.2012 - 18:49

W takim razie bardzo dziękuję za sprawdzenie :)
  • 0