Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wzór ciągu liczb


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 tomekpl

tomekpl

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 08.05.2008 - 11:24

Witam.

Mam problem z napisaniem wzoru na dowolny wyraz ciągu, którego początkowe argumenty mają postać: 6,18,36,60,90...

Rozpisywałem kolejne wyrazy ciągu a następnie je sumowałem. Zatrzymałem się na następującym wyrażeniu:
 a_n =  a_n-3 + 6(n-2) + 6(n-1) + 6n
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.08.2014 - 00:45

Myślałem, myślałem i mam :)

 

Zauważ że:

 

6=6\cdot 1

18=6\cdot 3

36=6\cdot 6

60=6\cdot 10

90=6\cdot 15

 

Teraz zajmijmy się tym ciągiem (mnozników) czyli 1,3,6,10,15

 

Można zauważyć, że różnica między kolejnymi wyrazami wzrasta o 1

 

3-1=2

6-3=3

10-6=4

15-10=5

 

Następny wyraz tego ciągu to 21, bo 21-15=6

 

Czyli następny wyraz twojego ciągu to 6\cdot 21=126


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 08.08.2014 - 08:49

Te mnożniki to kolejne liczby z trzeciej ukośnej linii trójkąta Pascala, więc wzór na wyraz ogólny tego ciągu

 

\bl a_n=6\cdot{n+1\choose2}\gr\ \Rightarrow\ a_n=6\cdot\frac{(n+1)!}{2!\cdot(n+1-2)!}=6\cdot\frac{(n-1)!\cdot n\cdot(n+1)}{2\cdot(n-1)!}\gr\ \Rightarrow\ \re a_n=3n(n+1)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.08.2014 - 09:44

Mam problem z napisaniem wzoru na dowolny wyraz ciągu, którego początkowe argumenty mają postać: 6,18,36,60,90, ...

...,  a jak nie wpadasz na żaden pomysł, to np. tak : ponieważ 2-ga różnica dwóch  kolejnych wyrazów tego ciągu jest const , to jego wyrazu

ogólnego szukasz w postaci trójmianu kwadratowego (*) \re a_n=an^2+nb+c, którego współczynniki spełniają układ 3-ech równań dla n=1,2,3 :

\{a+b+c=6\\ 4a+2b+c=18\\ 9a+3b+c=36 \bl \Rightarrow \{3a+b=12\\ 5a+b=18\\ a+b+c=6 \bl \Rightarrow \{2a=6\\ b=12-3a\\ c=6-a-b \bl\Rightarrow \{a=3\\ b=3\\ c=0  , zatem  z (*)  a_n=3n^2+3n  \bl \Leftrightarrow  \re a_n=3n(n+1) ,  n\in N_+. ... :)


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.08.2014 - 11:21

ponieważ 2-ga różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest const , to jego wyrazu ogólnego szukasz w postaci trójmianu kwadratowego

 

Tak to rozkminiam: Jaka druga różnica jest stała? Dlaczego trójmian. Pytam z ciekawości :)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską