Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Pole i objętość w graniastosłupie

LICEUM promień okręgu wpisanego graniastosłup

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
19 odpowiedzi w tym temacie

#1 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 16:59

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do drugiej ściany jest równy \alpha. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy r. Wyraź objętość V oraz P_c powierzchni całkowitej tego graniastosłupa w zależności od r i \alpha.


ten czerwony kąt to\alpha
a= 2r\sqrt{3}

Dołączona grafika

Co mogę teraz zrobić?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 19:09

Kąt  \alpha - między przekątnymi ścian bocznych, to kąt między jedną przekatną a jej rzutem na przekątną drugą- kąt między przekątnymi przy wierzchołku  A (rysunek).

Plan rozwiązania zadania

1) Z równania  \frac{1}{3}h = r = \frac{a\sqrt{3}}{2} wyznaczmy długość boku podstawy graniastosłupa  a.
2) Obliczamy pole powierzchni podstawy graniastosłupa.
3) Z trójkąta równoramiennego EDA (rysunek) wyznaczamy długość przekątnej ściany bocznej graniastosłupa.
4) Ze wzoru Pitagorasa do trójkąta ACE obliczamy długość wysokości  H graniastosłupa.
5) Obliczamy objętość graniastosłupa.
6) Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Użytkownik janusz edytował ten post 01.11.2012 - 19:31

  • 1

#3 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 19:23

tam w zadaniu jest: kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do drugiej ściany

1. a=2r \sqrt{3}

2. P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4r^2 \cdot 3 \sqrt{3}}{4}=r^2 \cdot 3 \sqrt{3}
W trzecim pojawia się kłopot, bo nie wiem z jakich wzorów korzystać

Użytkownik denatlu edytował ten post 01.11.2012 - 19:24

  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 19:36

3)  \sin\(\frac{\alpha}{2}\) = \frac{\frac{a}{2}}{p}.
  • 0

#5 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 19:50

\alpha czyli kąt czerwony? bo raczej nie w wierzchołku A. I dlaczego \frac{\alpha}{2}?

Użytkownik denatlu edytował ten post 01.11.2012 - 19:50

  • 0

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 20:23

Masz rację nie chodzi o kąt między przekątnymi ścian bocznych, a o kąt między przekątną jednej ściany bocznej a drugą ścianą boczną w takim razie patrząc na Twój rysunek
 \cos (\alpha) = \frac{\frac{a}{2}}{p}
Stąd obliczasz długość przekątnej ściany bocznej  p.

Użytkownik janusz edytował ten post 01.11.2012 - 20:24

  • 0

#7 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.11.2012 - 22:27

skąd w ogóle to równanie?
  • 0

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.11.2012 - 23:22

*
Najwyższa ocena

Jeśli nazwiemy przekątną AE jako p i wysokość podstawy z punktu E jako h, to

h=3r

sin\alpha=\frac{h}{p}=\frac{3r}{p}\gr\ \Rightarrow\ p=\frac{3r}{\sin\alpha}

z tw. Pita....
H^2+a^2=p^2\gr\ \Rightarrow\ H^2=p^2-a^2=\(\frac{3r}{\sin\alpha}\)^2-\(2\sqrt3r\)^2=r^2\(\frac{9}{\sin^2\alpha}-12\)\gr\ \Rightarrow\ \bl H=r\sqrt{\frac{9}{\sin^2\alpha}-12}

pole podstawy
P_p=\frac{sqrt3}{4}a^2=\cancel{\frac{sqrt3}{2}\cdot\(2\sqrt3r\)^2}=\frac{sqrt3}{4}\cdot\(2\sqrt3r\)^2\gr\ \Rightarrow\ \bl \cancel{P_p=6\sqrt3r^2}\ \ P_p=3\sqrt3r^2

objętość bryły
V=P_pH=\cancel{6\sqrt3r^2}\ 3\sqrt3r^2\cdot r\sqrt{\frac{9}{\sin^2\alpha}-12}\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ V=\cancel{18}\ 9r^3\sqrt{\frac{3}{\sin^2\alpha}-4}\ }

pole całkowite
P=2P_p+3\cdot aH=2\cdot\cancel{6\sqrt3r^2}3\sqrt3r^2+3\cdot2\sqrt3r\cdot r\sqrt{\frac{9}{\sin^2\alpha}-12}\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ P=6\sqrt3\(\cancel{2}\ 1+\sqrt{\frac{9}{\sin^2\alpha}-12}\)r^2\ }
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

Użytkownik bb314 edytował ten post 02.11.2012 - 10:52

  • 3

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2012 - 08:06

Pole książkowe: P=6r^2\sqrt{3}(1+\sqrt{3(3 ctg^2 \alpha-1)})

V=9r^2\sqrt{3ctg^3\alpha-1}

Skąd w ogóle a trójkącie AED się bierze wysokość z trójkąta CED?

Użytkownik denatlu edytował ten post 02.11.2012 - 08:07

  • 0

#10 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.11.2012 - 10:52

Poza tym, że omskła mi się czwórka na dwójkę przy liczeniu pola podstawy (już poprawiam), to wszystko jest zgodne z wynikiem książkowym (z małym wyjątkiem - objętość musi mieć r^3 a nie r^2)

\bl\sqrt{\frac{9}{\sin^2\alpha}-12}\ =\sqrt{\frac{9\cdot1}{\sin^2\alpha}-12}=\sqrt{\frac{9(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha}-12}=\sqrt{9\cdot\(\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\)-12}=

=sqrt{9\cdot\(1+ctg^2\alpha\)-12}=\sqrt{9+9ctg^2\alpha-12}=\sqrt{9ctg^2\alpha-3}=\ \bl \sqrt{3\(3ctg^2\alpha-1\)}=\sqrt3\sqrt{3ctg^2\alpha-1}


A do czego Ci potrzebny \Delta AED ?
Kąt \alpha jest w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątną jest wysokość podstawy, a przeciwprostokątną przekątna ściany bocznej. Kąt \alpha leży naprzeciw wysokości podstawy poprowadzonej z punktu E.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#11 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2012 - 13:07

A do czego Ci potrzebny \Delta AED ?


Bo ja ten kąt \alpha zaznaczyłem właśnie w tym trójkącie. Nie wiem jak Ty go widzisz. To miał być kąt między przekątną ściany bocznej a drugą ścianą. Czyli jest to kąt przekątnej AE do płaszczyzny DEFB. Tak chyba jest tak?
  • 0

#12 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.11.2012 - 15:57

Postaw w środku boku CD punkt G. Kąt między przekątną AE a ścianą ABCD to jest kąt przy wierzchołku A trójkąta prostokątnego AEG.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

Oczywiście ten sam kąt jest między przekątna AE i ścianą DEFB. Ale jest to kąt przy wierzchołku E trójkąta prostokątnego AEK, gdzie K jest środkiem boku BF.
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#13 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2012 - 16:48

Ok, a jeszcze jedno, czy kąt między przekątnymi równa się kątowi między scianą boczną a przekątną? chyba tak
  • 0

#14 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.11.2012 - 18:01

NIE

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 0

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#15 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2012 - 21:32

to ja tego nie czaje. Ale z każdego punktu na przekątnej kąt do ściany jest taki sam?
  • 0

#16 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.11.2012 - 21:54

Nie rozumiem Twojego pytania :(
Kąt to jest kąt. Kąt ma dwa ramiona, które są półprostymi wychodzącymi z jednego punktu (wierzchołek kąta).

Wracając do naszego zadania.
Wyobraź sobie, że ten graniastosłup leży ścianą ABCD na stole, zwrócony w Twoją stronę podstawą CDE (trójkąt równoboczny).
Z E rysujesz pionowo w dół wysokość do punktu G w środku boku CD. Teraz „tniemy” ten graniastosłup płaszczyzną prostopadłą do podłoża, czyli do ściany ABCD, przechodzącą przez przekątną AE i wysokość EG. Ściana ABCD zostanie przecięta w linii AG. Ten przekrój to będzie trójkąt prostokątny AGE. \angle EAG to jest właśnie kąt między przekątną AE i ścianą ABCD.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#17 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2012 - 22:13

a jak na prostej CD dam punkt Z i przetnę płaszczyzną AE i AZ, zrobi się trójkąt AEZ i EAZ będzię kątem między scianą a przekątną ściany?

Użytkownik denatlu edytował ten post 02.11.2012 - 22:14

  • 0

#18 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.11.2012 - 22:31

Ta płaszczyzna tnąca musi być prostopadła do ściany, więc EZ musi być prostopadłe do CD, czyli musi to być wysokość trójkąta CDE, czyli musi być \bl Z=G

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#19 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.11.2012 - 22:34

skoro musi, to jest jakaś definicja kąta między prostą w scianie bocznej a drugą sciąną, czy coś ogólniejszego :D?

Użytkownik denatlu edytował ten post 02.11.2012 - 22:36

  • 0

#20 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.11.2012 - 23:01

Weź jakiś patyk, przytknij go jednym końcem do podłogi i pomyśl, jak określić kąt między tym patykiem a podłogą.
Na pewno dojdziesz do wniosku, że ten kąt musi zawierać się w płaszczyźnie prostopadłej do podłogi. Gdyby płaszczyzna przechodząca przez kij nie była prostopadła do podłogi, to kąt byłby zawsze większy i zależny od kąta pod jakim jest ta płaszczyzna.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 0

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..