Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Dowód Twierdzenia

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 marcinb-1990

marcinb-1990

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2012 - 16:04

Jeżeli ciag (an) jest nierosnący dla n >n0 oraz ograniczony z dołu to jest zbieżny do granicy właściwej inf{an : n > n0 }
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.10.2012 - 20:22

Dowód
Zauważmy, że zbiór wyrazów ciagu  A = \{ a_{n} | n\in N\} jest ograniczony z dołu, a więc liczba  m = inf(A).
Ustalmy  \epsilon > 0
Ponieważ  m > m - \epsilon , więc  m nie jest ograniczeniem dolnym zbioru  A.
Zatem, znajdziemy takie  n_{0} , że  m - \epsilon > a_{n_{0}} \geq m.
Ciąg  (a_{n} ) jest nierosnący, dlatego  a_{m} \leq a_{n_{0}} dla wszystkich  m > n_{0}.
Jednak, mamy też, że  a_{n} \geq m , gdyż  m jest ograniczeniem dolnym zbioru  A.
Reasumując
 m - \epsilon < m \leq a_{n} \leq a_{n_{0}} < m + \epsilon
czyli
 | a_{n} - m | < \epsilon
Zgodnie z definicją granicy ciągu  \lim_{n \to \infty} a_{n} = m = inf\{ a{n}: \ n > n_{0} \}.
Co mieliśmy udowodnić.
  • 0





Tematy podobne do: Dowód Twierdzenia     x