Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Podwójny iloczyn wektorowy

STUDIA matematyka

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Lee5.56

Lee5.56

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2012 - 14:47

Witam. Mam problem z zadaniem:
1. Udowodnić podane własności rozkładając wektory na składowe:
Dołączona grafika
Dziękuje z góry za odpowiedź. Pozdrawiam
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2012 - 17:24

Dowód pochodzi od Śp. Profesora Karola Borsuka.
Korzystamy z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej  E^3

 [a_{1}, a_{2}, a_{3}] \times [b_{1}, b_{2}, b_{3}] = \left[ \left| \begin{array}{cc}a_{2}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3} \end{array} \right|,- \left| \begin{array}{cc}a_{1}&a_{3}\\ b_{1}&b_{3} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc}a_{1}&a_{2}\\ b_{1}&b_{2} \end{array} \right| \right]. (1)
Oznaczając wektory bazy kanonicznej przez  e_{1}, e_{2}, e_{3} możemy wzór (1) zapisać w postaci

 [a_{1}, a_{2}, a_{3}] \times [b_{1}, b_{2}, b_{3}] = \left| \begin{array}{ccc}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array} \right|.

Stąd
 [a_{1}, a_{2}, a_{3}] \times [b_{1}, b_{2}, b_{3}] \times [c_{1}, c_{2}, c_{3}] = \left| \begin{array}{ccc}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\ \left| \begin{array}{cc}a_{2}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3} \end{array} \right|&,- \left| \begin{array}{cc}a_{1}&a_{3}\\ b_{1}&b_{3} \end{array} \right|&\left| \begin{array}{cc}a_{1}&a_{2}\\ b_{1}&b_{2} \end{array} \right| \\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array} \right|.

Rozwijając ten wyznacznik względem pierwszego wiersza, otrzymujemy
 [a_{1}, a_{2}, a_{3}] \times [b_{1}, b_{2}, b_{3}] \times [c_{1}, c_{2}, c_{3}] = -(b_{1}c_{1} + b_{ 2}c_{2} +b_{3}c_{3})\vec{a} + (a_{1}c_{1} + a_{2}c_{2} + a_{3}c_{3})\vec{b}

czyli
 (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\cdot \vec{b} - (\vec{b}\cdot \vec{c})\cdot \vec{a}.
  • 0

#3 Lee5.56

Lee5.56

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2012 - 19:30

Wielkie dzięki. A mógłbyś to wytłumaczyć od słowa skąd, ponieważ nie rozumiem tego mnożenia.
  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.10.2012 - 19:40

Zauważmy, że zastosowano tu pewną rekurencję.
Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wyznacznikiem, to iloczyn wektorowy trzech wektorów też jest wyznacznikiem w którym w jednym z jego wierszu występują współrzędne iloczynu wektorowego dwóch wektorów.
A potem jest to zwykłe rozwinięcie tak skonstruowanego wyznacznika.
  • 0