Witam. Mam problem z zadaniem:
1. Udowodnić podane własności rozkładając wektory na składowe:
Dziękuje z góry za odpowiedź. Pozdrawiam
3 odpowiedzi w tym temacie
#1
Napisano 22.10.2012 - 14:47
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 22.10.2012 - 17:24
Dowód pochodzi od Śp. Profesora Karola Borsuka.
Korzystamy z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej
(1)
Oznaczając wektory bazy kanonicznej przez możemy wzór (1) zapisać w postaci
Stąd
Rozwijając ten wyznacznik względem pierwszego wiersza, otrzymujemy
czyli
Korzystamy z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej
(1)
Oznaczając wektory bazy kanonicznej przez możemy wzór (1) zapisać w postaci
Stąd
Rozwijając ten wyznacznik względem pierwszego wiersza, otrzymujemy
czyli
#3
Napisano 22.10.2012 - 19:30
Wielkie dzięki. A mógłbyś to wytłumaczyć od słowa skąd, ponieważ nie rozumiem tego mnożenia.
#4
Napisano 22.10.2012 - 19:40
Zauważmy, że zastosowano tu pewną rekurencję.
Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wyznacznikiem, to iloczyn wektorowy trzech wektorów też jest wyznacznikiem w którym w jednym z jego wierszu występują współrzędne iloczynu wektorowego dwóch wektorów.
A potem jest to zwykłe rozwinięcie tak skonstruowanego wyznacznika.
Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wyznacznikiem, to iloczyn wektorowy trzech wektorów też jest wyznacznikiem w którym w jednym z jego wierszu występują współrzędne iloczynu wektorowego dwóch wektorów.
A potem jest to zwykłe rozwinięcie tak skonstruowanego wyznacznika.