Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Oblicz Całkę

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 RYH

RYH

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.09.2012 - 12:02

Jak w temacie, mam taką całkę do rozwalenia. Przy pochodnych pomogliście raz dwa, może tu też się ktoś znajdzie ;)

<br />\\\int x sqrt{3x-x^2} dx<br />\\

Za pomoc dziękuję ;)

Użytkownik RYH edytował ten post 25.09.2012 - 12:07

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1144
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.09.2012 - 20:00

Zastosuj któreś z podstawień Eulera.
  • 0

#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2012 - 13:54

Lepiej przez części
Z podstawień Eulera pasuje trzecie (to z pierwiastkami)
a po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej będzie pasować także drugie (to z wyrazem wolnym)

@octahedron prawda to że chociaż są trzy podstawienia Eulera to wystarczą dowolne dwa
żeby sprowadzić funkcję podcałkową do funkcji wymiernej
(zakładając że nie chcemy się bawić funkcjami trygonometrycznymi bądź hiperbolicznymi)

Użytkownik Mariusz M edytował ten post 26.09.2012 - 14:01

  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3037 postów
1408
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2012 - 14:21

Po uzupełnieniu do kwadratu różnicy dwumianu i wyciągnięciu 2,25 przed znak pierwiastka
 \int 1,5x \sqrt{ 1 - (\frac{x - 2,25}{1,5})^2} dx.
Podstawienie
 \frac{x - 2,25}{1,5} = t.
 1,5\int( 1,5t +2,25)\sqrt{1- t^2}dt =1,5 \int 1,5t\sqrt{1 - t^2}dt+ 1,5\int 2,25\sqrt{1 - t^2}dt.
Pierwsza całka podstawienie  \sqrt{ 1 - t^2} = u.
Druga całka podstawienie  t = \sin(\phi).
 \int x\sqrt{3x - x^2}dx = 1,125(x -2,25)\sqrt{ 1 - (\frac{x - 2,25}{1,5})^2} - 0,75\sqrt{[1 - (\frac{x -2,25}{1,5})^2]^3} + C.

Użytkownik janusz edytował ten post 26.09.2012 - 15:01

  • 0

#5 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2012 - 17:46

\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}\\<br />\\=\frac{x^2}{2}\sqrt{3x-x^2}-\int{\frac{x^2}{2}\cdot\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\\<br />\\=\frac{x^2}{2}\sqrt{3x-x^2}-\frac{1}{4}\int{\frac{3x^2-2x^3}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\\<br />\\\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{2}\sqrt{3x-x^2}-\frac{1}{2}\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}+\frac{3}{4}\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\\<br />\\\frac{3}{2}\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{2}\sqrt{3x-x^2}+\frac{3}{4}\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\\<br />\\\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(\int{\frac{x\left(3-2x\right)}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}-\int{\frac{3x}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\right)\\<br />\\\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(2x\sqrt{3x-x^2}-\int{2\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}-\int{\frac{3x}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\right)\\<br />\\\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(2x\sqrt{3x-x^2}-\int{\frac{6x-2x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}-\int{\frac{3x}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\right)\\<br />\\2\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(2x\sqrt{3x-x^2}-9\int{\frac{x}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\right)\\<br />\\2\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(2x\sqrt{3x-x^2}+\frac{9}{2}\left(\int{\frac{3-2x}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}-\int{\frac{3}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}\right)\right)\\<br />\\2\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(2x\sqrt{3x-x^2}+9\sqrt{3x-x^2}-\frac{27}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}}}\right)\\<br />\\2\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left(2x\sqrt{3x-x^2}+9\sqrt{3x-x^2}-\frac{27}{2}\cdot\frac{2}{3}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-3}{3}\right)^2}}}\right)\\<br />\\\int{\frac{x^2}{\sqrt{3x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{4}\left(\left(2x+9\right)\sqrt{3x-x^2}-\frac{27}{2}\arcsin{\left(\frac{2x-3}{3}\right)}\right)\\<br />\\\frac{3}{2}\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{2}\sqrt{3x-x^2}-\frac{3}{16}\left(\left(2x+9\right)\sqrt{3x-x^2}-\frac{27}{2}\arcsin{\left(\frac{2x-3}{3}\right)}\right)\\<br />\\\frac{3}{2}\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{2}\sqrt{3x-x^2}-\frac{3}{32}\left(\left(4x+18\right)\sqrt{3x-x^2}-27\arcsin{\left(\frac{2x-3}{3}\right)}\right)\\<br />\\\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{3}\sqrt{3x-x^2}-\frac{1}{8}\left(2x+9\right)\sqrt{3x-x^2}+\frac{27}{16}\arcsin{\left(\frac{2x-3}{3}\right)}+C\\<br />\\\int{x\sqrt{3x-x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{24}\left(8x^2-6x-27\right)\sqrt{3x-x^2}+\frac{27}{16}\arcsin{\left(\frac{2x-3}{3}\right)}+C\\<br />\\<br />\\
  • 0

#6 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1144
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2012 - 21:08

@octahedron prawda to że chociaż są trzy podstawienia Eulera to wystarczą dowolne dwa, żeby sprowadzić funkcję podcałkową do funkcji wymiernej

Prawda, zawsze da się zastosować dwa z nich.
  • 0

#7 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.09.2012 - 13:51

Załóżmy że mamy do dyspozycji tylko pierwsze i drugie podstawienie
<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}=<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{a\left(x-p\right)^2+q}\right)\mbox{d}x}\\<br />\\a>0\\<br />\\\sqrt{a\left(x-p\right)^2+q}=t-\sqrt{a}\left(x-p\right)\\<br />\\a\left(x-p\right)^2+q=t^2-2\sqrt{a}\left(x-p\right)t+a\left(x-p\right)^2\\<br />\\q=t^2-2\sqrt{a}\left(x-p\right)t\\<br />\\2\sqrt{a}\left(x-p\right)t=t^2-q\\<br />\\x-p=\frac{t^2-q}{2\sqrt{a}t}\\<br />\\x=\frac{t^2+2\sqrt{a}p\cdot t-q}{2\sqrt{a}t}\\<br />\\\sqrt{a\left(x-p\right)^2+q}=t-\sqrt{a}\left(x-p\right)=\frac{t^2+q}{2t}\\<br />\\\mbox{d}x=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot{\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-q\right)}{4t^2}}\mbox{d}t\\<br />\\\mbox{d}x=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{t^2+q}{2t^2}\mbox{d}t\\<br />\\\int{R\left(\frac{t^2+2\sqrt{a}p\cdot t-q}{2\sqrt{a}t},\frac{t^2+q}{2t}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{t^2+q}{2t^2}\right)\mbox{d}t}\\<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}=<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{a\left(x-p\right)^2+q}\right)\mbox{d}x}\\<br />\\a<0\\<br />\\\sqrt{a\left(x-p\right)^2+q}=\left(x-p\right)t-\sqrt{q}\\<br />\\a\left(x-p\right)^2+q=\left(x-p\right)^2t^2-2\sqrt{q}\left(x-p\right)t+q\\<br />\\a\left(x-p\right)=\left(x-p\right)t^2-2\sqrt{q}t\\<br />\\2\sqrt{q}t=\left(x-p\right)\left(t^2-a\right)\\<br />\\x-p=\frac{2\sqrt{q}t}{t^2-a}\\<br />\\x=\frac{pt^2+2\sqrt{q}t-ap}{t^2-a}\\<br />\\\sqrt{a\left(x-p\right)^2+q}=\left(x-p\right)t-\sqrt{q}=\sqrt{q}\frac{t^2+a}{t^2-a}\\<br />\\\mbox{d}x=\sqrt{q}\cdot\frac{2\left(t^2-a\right)-2t\cdot 2t}{\left(t^2-a\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\mbox{d}x=-2\sqrt{q}\cdot\frac{t^2+a}{\left(t^2-a\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\int{R\left(\frac{pt^2+2\sqrt{q}t-ap}{t^2-a},\sqrt{q}\frac{t^2+a}{t^2-a}\right)\left(-2\sqrt{q}\cdot\frac{t^2+a}{\left(t^2-a\right)^2}\right)\mbox{d}t}<br />\\

Przypadek gdy q<0\wedge a<0 nas nie interesuje ponieważ trójmian kwadratowy przyjmuje wtedy tylko wartości ujemne zatem te dwa podstawienia wyczerpują wszystkie interesujące nas przypadki

Załóżmy że mamy do dyspozycji tylko pierwsze i trzecie podstawienie
<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}\\<br />\\b^2-4ac>0\\<br />\\\sqrt{a\left(x-\lambda\right)\left(x-\mu\right)}=\left(x-\lambda\right)t\\<br />\\a\left(x-\lambda\right)\left(x-\mu\right)=\left(x-\lambda\right)^2t^2\\<br />\\a\left(x-\mu\right)=\left(x-\lambda\right)t^2\\<br />\\ax-a\mu=xt^2-\lambda t^2\\<br />\\\lambda t^2-a\mu=xt^2-ax\\<br />\\x\left(t^2-a\right)=\lambda t^2-a\mu\\<br />\\x=\frac{\lambda t^2-a\mu}{t^2-a}=\lambda+a\cdot\frac{\lambda-\mu}{t^2-a}\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=a\cdot\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{t^2-a}\\<br />\\\mbox{d}x=a\cdot\left(-1\right)\left(\lambda-\mu\right)\left(t^2-a\right)^{-2}\cdot\left(2t\right)\mbox{d}t\\<br />\\\mbox{d}x=-2a\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{\left(t^2-a\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\int{R\left(\frac{\lambda t^2-a\mu}{t^2-a},a\cdot\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{t^2-a}\right)\left(-2a\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{\left(t^2-a\right)^2}\right)\mbox{d}t}\\<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}\\<br />\\b^2-4ac<0\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\\<br />\\ax^2+bx+c=t^2-2\sqrt{a}xt+ax^2\\<br />\\bx+c=t^2-2\sqrt{a}xt\\<br />\\2\sqrt{a}xt+bx=t^2-c\\<br />\\x\left(2\sqrt{a}t+b\right)=t^2-c\\<br />\\x=\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x=t-\frac{\sqrt{a}t^2-\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\<br />\\\mbox{d}x=\frac{2t\left(2\sqrt{a}t+b\right)-2\sqrt{a}\left(t^2-c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\mbox{d}x=\frac{2\left(\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\int{R\left(\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b},\frac{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\right)\left(\frac{2\left(\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c\right)}{\left(2\sqrt{a}t+b\right)^2}\right)\mbox{d}t}<br />\\

Przypadek gdy b^2-4ac<0\wedge a<0 nas nie interesuje ponieważ trójmian kwadratowy przyjmuje wtedy tylko wartości ujemne zatem te dwa podstawienia wyczerpują wszystkie interesujące nas przypadki

Załóżmy że mamy do dyspozycji tylko drugie i trzecie podstawienie
\int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}\\<br />\\b^2-4ac>0\\<br />\\\sqrt{a\left(x-\lambda\right)\left(x-\mu\right)}=\left(x-\lambda\right)t\\<br />\\a\left(x-\lambda\right)\left(x-\mu\right)=\left(x-\lambda\right)^2t^2\\<br />\\a\left(x-\mu\right)=\left(x-\lambda\right)t^2\\<br />\\ax-a\mu=xt^2-\lambda t^2\\<br />\\\lambda t^2-a\mu=xt^2-ax\\<br />\\x\left(t^2-a\right)=\lambda t^2-a\mu\\<br />\\x=\frac{\lambda t^2-a\mu}{t^2-a}=\lambda+a\cdot\frac{\lambda-\mu}{t^2-a}\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=a\cdot\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{t^2-a}\\<br />\\\mbox{d}x=a\cdot\left(-1\right)\left(\lambda-\mu\right)\left(t^2-a\right)^{-2}\cdot\left(2t\right)\mbox{d}t\\<br />\\\mbox{d}x=-2a\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{\left(t^2-a\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\int{R\left(\frac{\lambda t^2-a\mu}{t^2-a},a\cdot\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{t^2-a}\right)\left(-2a\frac{\left(\lambda-\mu\right)t}{\left(t^2-a\right)^2}\right)\mbox{d}t}\\<br />\\\int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}\\<br />\\b^2-4ac<0\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2\sqrt{a}}\sqrt{\left(2ax+b\right)^2+\left(4ac-b^2\right)}\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2\sqrt{a}}\left(\left(2ax+b\right)t-\sqrt{4ac-b^2}\right)\\<br />\\\frac{1}{4a}\left(\left(2ax+b\right)^2+\left(4ac-b^2\right)\right)=\frac{1}{4a}\left(\left(2ax+b\right)^2t^2-2\sqrt{4ac-b^2}\left(2ax+b\right)t+\left(4ac-b^2\right)\right)\\<br />\\\left(2ax+b\right)=\left(2ax+b\right)t^2-2\sqrt{4ac-b^2}t\\<br />\\2\sqrt{4ac-b^2}t=\left(2ax+b\right)\left(t^2-1\right)\\<br />\\2ax+b=\sqrt{4ac-b^2}\cdot\frac{2t}{t^2-1}\\<br />\\2ax=-\frac{bt^2-2\sqrt{4ac-b^2}t-b}{t^2-1}\\<br />\\x=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{bt^2-2\sqrt{4ac-b^2}t-b}{t^2-1}\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2\sqrt{a}}\left(\frac{2t^2}{t^2-1}-1\right)\\<br />\\\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2\sqrt{a}}\cdot\frac{t^2+1}{t^2-1}\\<br />\\2a\mbox{d}x=\sqrt{4ac-b^2}\cdot\frac{2\left(t^2-1\right)-2t\cdot 2t}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\mbox{d}x=-\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{a}\cdot\frac{t^2+1}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t\\<br />\\\int{R\left(-\frac{1}{2a}\cdot\frac{bt^2-2\sqrt{4ac-b^2}t-b}{t^2-1},\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2\sqrt{a}}\cdot\frac{t^2+1}{t^2-1}\right)\left(-\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{a}\cdot\frac{t^2+1}{\left(t^2-1\right)^2}\right)\mbox{d}t}

Przypadek gdy b^2-4ac<0\wedge a<0 nas nie interesuje ponieważ trójmian kwadratowy przyjmuje wtedy tylko wartości ujemne dodatkowo trójmian kwadratowy można zapisać w postaci \frac{1}{4a}\left(\left(2ax+b\right)^2+\left(4ac-b^2\right)\right)
Gdy b^2-4ac<0 to 4ac-b^2>0
Wobec powyższego te dwa podstawienia wyczerpują wszystkie interesujące nas przypadki
(Gdy nie można użyć trzeciego podstawienia pasuje drugie)

Po złożeniu odpowiedniego podstawienia cyklometrycznego i tangensa połówkowego
otrzymamy II bądź III podstawienie Eulera

Użytkownik Mariusz M edytował ten post 29.09.2012 - 18:38

  • 0





Tematy podobne do: Oblicz Całkę     x