Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Oblicz całke

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Piotr Żmijewski

Piotr Żmijewski

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny

Napisano 24.09.2012 - 23:53

Oblicz całkę
y2dx+x2dy po obszarze całkowania \gamma
gdzie \gamma={(x,y):x=a cos t, y=b sin t, t\in[0,\pi]}.

Zauważyłem że można tą całkę zrobić za pomocą tw. Greena no i po przekształceniu tego całego bajzlu wyszło mi coś takiego:

całka podwójna z (2x-2y)dxdy

i tutaj rodzi się problem... co ja mam dalej z tym zrobić? Ma ktoś jakieś pomysły?



(przepraszam że piszę "całka z czegoś" ale jestem tutaj nowy i nie za bardzo się jeszcze znam i nie widziałem opcji wstawienia symbolu całkowania ;])

Użytkownik Piotr Żmijewski edytował ten post 25.09.2012 - 00:51

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1144
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.09.2012 - 19:52

\int_\gamma y^2dy+x^2dx=\int_0^\pi y^2x'+x^2y'\,dt=\int_0^\pi -ab^2\sin^3t+a^2b\cos^3t\,dt
  • 0

#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3035 postów
1407
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2012 - 09:01

Z twierdzenia Greena, obliczamy dwie całki po I ćwiartce elipsy o równaniu kanonicznym
 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
Górna część elipsy jest symetryczna względem osi Oy.
 2\int_{(D)}\int 2(x -y)dxdy = 4\int_{0}^{a}[ \int_{0}^{b\sqrt{1 -\frac{x^2}{a^2}}}(x - y)dy]dx =
= \int_{0}^{a} \left( 4bx\sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} - 2b^2( 1- \frac{x^2}{a^2}) \right)dx = 4a^2b - 2\frac{2}{3}ab^2 = 2ab\left(2a - \frac{2}{3}b \right).

Użytkownik janusz edytował ten post 26.09.2012 - 12:57

  • 0





Tematy podobne do: Oblicz całke     x