Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Oblicz za pomocą residuum

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 karolinaa07

karolinaa07

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 72 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.08.2012 - 19:16

Oblicz za pomocą residuum  L^{-1} [{\frac{1}{{(x^2+1)}^2}] .
Po trafie rozwiązywać takie zadania ale ten przykład mi w ogóle nie wychodzi. Proszę o pomoc
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.08.2012 - 13:59

 f(t) = L^{-1}\left[\frac{1}{(x^2 +1)}\right ] = \frac{1}{2\pi i} \int_{t - i\infty}^{t+ i\infty} \frac{e^{xt}}{(x^2 +1)^2} dx.

 \frac{1}{2\pi i} \int_{t - i\infty}^{t+ i\infty} \frac{e^{xt}}{(x^2 +1)^2} dx = res_{ x =-i} \left[\frac{e^{xt}}{(x^2 + 1)^2}\right] + res_{ x =i} \left[\frac{e^{xt}}{(x^2 + 1)^2}\right] = \frac{1}{1!} \lim_{x \to -i} \left[ \frac{e^{xt}}{(x-i)^2} \right]' + \frac{1}{1!} \lim_{x \to i} \left[ \frac{e^{xt}}{(x+i)^2} \right]' =
 = \lim_{x \to -i} \frac{ te^{xt}(x-i)^2 - 2e^{xt}(x-i)}{(x-i)^4} + \lim_{x \to i} \frac{ te^{xt}(x+i)^2 - 2e^{xt}(x+i)}{(x+i)^4}= \frac{e^{-it}(-2it -2)}{ 8i} + \frac{e^{it} (2it -2)}{ -8i} = \frac{  -2ite^{-it} -2e^{-it} -2ite^{it} +2e^{it}}{8i} =
 = \frac{2e^{it} -2e^{-it}}{8i} - \frac{te^{-it} + te^{it}}{4} = \frac{1}{2}\frac{e^{it} - e^{-it}}{2i} -\frac{1}{2}t \frac{e^{it} +e^{-it}}{2} = \frac{1}{2}\sin(t) - \frac{1}{2}t\cos(t).

Użytkownik janusz edytował ten post 24.08.2012 - 16:30

  • 0

#3 karolinaa07

karolinaa07

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 72 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.08.2012 - 16:22

Dzięki, właśnie nie mogłam w żaden sposób dojść do takiej ładnej postaci końcowe:)
A jeszcze mam jedno pytanie, czy:
 \frac{e^{-it}(-2it -2)}{ 8i}
nie powinno być:
 \frac{e^{-it}(2it -2)}{ 8i}??

Użytkownik karolinaa07 edytował ten post 24.08.2012 - 16:22

  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.08.2012 - 16:55

Chyba jest dobrze.
Uprościłem licznik i mianownik pierwszej granicy przez  (x - i), drugiej przez  (x +i) .
Podstawiłem w pierwszej granicy  x = -i , w drugiej  x = i i wyłączyłem w licznikach tych granic odpowiednio  e^{it} , e^{-it}
  • 0

#5 karolinaa07

karolinaa07

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 72 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.08.2012 - 17:21

tak tak, juz wiem gdzie mam błąd;) Dzięki
  • 0