Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Działania na macierzach

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 petermus

petermus

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 307 postów
2
Neutralny

Napisano 04.07.2012 - 11:36

Wyznaczyć X

B=A \cdot X + C, gdzie:

A= \begin{vmatrix}2 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 0\end{vmatrix}

B = \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1\end{vmatrix}

C = \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 3 \\ 0 & 1\end{vmatrix}
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 agulka

agulka

    Operator całkujący

  • ^Przyjaciele
  • 426 postów
216
Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.07.2012 - 13:38

B=A\cdot X + C\\<br />\\A \cdot X = B-C\\<br />\\X=A^{-1}(B-C)

X=\begin{vmatrix}1 & -3\\ 0 & 1\\ 0 & 0\end{vmatrix}

Użytkownik agulka edytował ten post 04.07.2012 - 13:40

  • 1

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.07.2012 - 22:02

B=A \cdot X + C\gr\ \Rightarrow\ A\cdot X=B-C\gr\ \Rightarrow\ X=A^{-1}\cdot(B-C)

B-C= \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}1-(-1) & 0-1 \\ 2-1 & 3-3 \\ 1-0 & 1-1\end{array}\right]\gr\ \Rightarrow\ \bl B-C= \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right]
wyznacznik macierzy A
detA=\begin{vmatrix}2 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 0\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 3 & 0\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}5 & 2 \\ 3 & 0\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}5 & 2 \\ 3 & 1\end{vmatrix}=2\cdot(3\cdot0-3\cdot1)-1\cdot(5\cdot0-3\cdot2)+1\cdot(5\cdot1-3\cdot2)\gr\ \Rightarrow\ \bl detA=-1
macierz dopełnień algebraicznych macierzy A
\[A_{ij}\]= \left[\begin{array}{ccc}+\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 3 & 0\end{vmatrix}& -\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & 3\end{vmatrix} \\\ &\ &\ \\\ &\ &\ \\ -\begin{vmatrix}5 & 2 \\ 3 & 0\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & 0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3\end{vmatrix} \\\ &\ &\ \\\ &\ &\ \\ +\begin{vmatrix}5 & 2 \\ 3 & 1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3\end{vmatrix}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}+(3\cdot0-3\cdot1) & -(1\cdot0-1\cdot1) & +(1\cdot3-1\cdot3) \\\ &\ &\ \\\ &\ &\ \\ -(5\cdot0-3\cdot2) & +(2\cdot0-1\cdot2) & -(2\cdot3-1\cdot5) \\\ &\ &\ \\\ &\ &\ \\ +(5\cdot1-3\cdot2) & -(2\cdot1-1\cdot2) & +(2\cdot3-1\cdot5)\end{array}\right]\gr\ \Rightarrow\ \bl\[A_{ij}\]= \left[\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]
transpozycja macierzy dopełnień algebraicznych \[A_{ij}\], czyli macierz dołączona
A^D=\[A_{ij}\]^T= \left[\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]^T\gr\ \Rightarrow\ \bl A^D= \left[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]
macierz odwrotna do macierzy A
A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot A^D=\frac{1}{-1}\cdot \left[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]=(-1)\cdot \left[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]\gr\ \Rightarrow\ \bl A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -6 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]

X=A^{-1}\cdot(B-C)=\left[\begin{array}{ccc}3 & -6 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}3\cdot2+(-6)\cdot1+1\cdot1 & 3\cdot(-1)+(-6)\cdot0+1\cdot0 \\ (-1)\cdot2+2\cdot1+0\cdot1 & (-1)\cdot(-1)+2\cdot0+0\cdot0 \\ 0\cdot2+1\cdot1+(-1)\cdot1 & 0\cdot(-1)+1\cdot0+(-1)\cdot0\end{array}\right]\gr\ \Rightarrow\re\fbox{X=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..