Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Masa linii łańcuchowej

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 masło

masło

    Kombinator

  • ^Przyjaciele
  • 294 postów
31
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.07.2012 - 17:51

Znaleźć masę linii łańcuchowej y=t\cosh  \frac{x}{t} dla x\in<0,t> jeżeli gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do rzędnej.
  • 0
Dołączona grafika

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.07.2012 - 20:54

M=\int_0^t\frac{1}{y}\sqrt{1+\(y'\)^2}\,dx=\int_0^t\frac{1}{t\cosh\(\frac{x}{t}\)}\sqrt{1+\(\cosh\(\frac{x}{t}\)+\sinh\(\frac{x}{t}\)\)^2}\,dx=\int_0^1\frac{1}{\cosh(u)}\sqrt{1+\(\cosh(u)+\sinh(u)\)^2}\,du=\\<br />\\=\int_0^1\frac{2}{e^u+e^{-u}}\sqrt{1+e^{2u}}\,du=\int_0^1\frac{2e^u}{e^{2u}+1}\sqrt{1+e^{2u}}\,du=\int_1^e\frac{2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz\\<br />\\\sqrt{1+z^2}=z+t\\<br />\\1+z^2=z^2+2zt+t^2\\<br />\\z=\frac{1-t^2}{2t}\\<br />\\dz=\frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\,dt\\<br />\\\int\frac{2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz=\int\frac{2}{\frac{1-t^2}{2t}+t}\cdot \frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\,dt=\int\frac{-2}{t}\,dt=-2\ln|t|=-2\ln\|\sqrt{1+z^2}-z\|\\<br />\\M=2\ln\|\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{1+e^2}-e}\|<br />\\
  • 1