Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 1/sin^7(x)

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 chrustosia

chrustosia

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 27 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.05.2012 - 17:05

\int\frac{dx}{\sin^7x}

Użytkownik chrustosia edytował ten post 18.05.2012 - 18:10

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.05.2012 - 19:07

\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^7x}=\int\frac{\sin^2x\mbox{d}x}{\sin^7x}+\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^7x}=\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^5x}+\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^7x}=\[\begin{array}{cc}f(x)=\cos x & f'(x)=-\sin x\\ g'(x)=\frac{\cos x}{\sin^7x} & g(x)=-\frac{1}{6\sin^6x}\end{array}\]=\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^5x}-\frac{\cos x}{6\sin^6x}-\frac{1}{6}\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^5x}=\frac{5}{6}\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^5x}-\frac{\cos x}{6\sin^6x}=I\\<br />\\\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^5x}=\int\frac{\sin^2x\mbox{d}x}{\sin^5x}+\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^5x}=\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^3x}+\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^5x}=\int\frac{\mbox{d}x}{\sin x}+\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^3x}+\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^5x}=I_1\\<br />\\\int\frac{\mbox{d}x}{\sin x}=\[t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow\mbox{d}x=\frac{2\mbox{d}t}{t^2+1},\;\;\; \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\]=\int\frac{2(1+t^2)}{(t^2+1)\cdot 2t}\mbox{d}t=\ln |t|=\[t=\tan\frac{x}{2}\]=\ln |\tan\frac{x}{2}|\\<br />\\\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^3x}=\[\begin{array}{cc}f(x)=\cos x & f'(x)=-\sin x\\ g'(x)=\frac{\cos x}{\sin^3x} & g(x)=-\frac{1}{2\sin^2x}\end{array}\]=-\frac{\cos x}{2\sin^2x}-\frac{1}{2}\int\frac{\mbox{d}x}{\sin x}=-\frac{\cos x}{2\sin^2x}-\frac{1}{2}\ln |\tan\frac{x}{2}|\\<br />\\\int\frac{\cos^2x\mbox{d}x}{\sin^5x}=\[\begin{array}{cc}f(x)=\cos x & f'(x)=-\sin x\\ g'(x)=\frac{\cos x}{\sin^5x} & g(x)=-\frac{1}{4\sin^4x}\end{array}\]=-\frac{\cos x}{4\sin^4 x}-\frac{1}{4}\int\frac{\mbox{d}x}{\sin^3x}=-\frac{\cos x}{4\sin^4 x}-\frac{1}{4}\(-\frac{\cos x}{2\sin^2x}-\frac{1}{2}\ln |\arctan\frac{x}{2}|\)=-\frac{\cos x}{4\sin^4 x}+\frac{\cos x}{8\sin^2x}+\frac{1}{8}\ln |\arctan\frac{x}{2}|)\\<br />\\I_1=\ln |\arctan\frac{x}{2}|-\frac{\cos x}{2\sin^2x}-\frac{1}{2}\ln |\arctan\frac{x}{2}|-\frac{\cos x}{4\sin^4 x}+\frac{\cos x}{8\sin^2x}+\frac{1}{8}\ln |\tan\frac{x}{2}|)=\frac{5}{8}\ln |\tan\frac{x}{2}|-\frac{3}{8}\cdot \frac{\cos x}{\sin^2x}-\frac{\cos x}{4\sin^4 x}\\<br />\\I=\frac{5}{6}\(\frac{5}{8}\ln |\tan\frac{x}{2}|-\frac{3}{8}\cdot \frac{\cos x}{\sin^2x}-\frac{\cos x}{4\sin^4 x}\)-\frac{\cos x}{6\sin^6x}+C<br />\\
  • 0

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 20.05.2012 - 21:09

Jeśli istotna jest poprawna wartość tej całki, to mnie wyszła troszkę inna:

\bl\int\frac{dx}{sin^7x}=\frac{5}{16}ln\|tg\frac{x}{2}\|-\frac{cosx}{48sin^2x}\(15+\frac{10}{sin^2x}+\frac{8}{sin^4x}\)+C

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 0

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.06.2016 - 12:24

Zaintrygowało mnie to zadanie

 

Sposób 1: wykorzystując wzór (...trzy razy)

 

\int \:\csc ^n\left(x\right)dx=-\frac{\cos \left(x\right)\csc ^{n-1}\left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \csc ^{n-2}\left(x\right)dx

 

mamy

 

\int \csc ^7\left(x\right)dx=-\frac{\cos \left(x\right)\csc ^6\left(x\right)}{6}+\frac{5}{6}\int \csc ^5\left(x\right)dx

 

a dalej

 

\int \csc ^5\left(x\right)dx=-\frac{\cos \left(x\right)\csc ^4\left(x\right)}{4}+\frac{3}{4}\int \csc ^3\left(x\right)dx

 

a dalej to już na kilka sposobów można

 

http://matma4u.pl/to...ózne-podejścia/


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.06.2016 - 12:24

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.06.2016 - 14:29

wyprowadzenie

 

\int{\frac{1}{\sin^{7}(x)}dx =\int{\csc^{7}{\left (x \right )dx

Przez części

u=csc^5(x)                                                        v'=csc^2(x)

u'=- 5 ctg(x) \csc^5(x)                             v=-ctg(x)

\int\csc^{7}(x) dx=\csc^5(x) \cdot \left(- ctg(x)\right)-\int\left(- ctg(x)\right) \cdot \left(- 5 ctg(x) \csc^5(x)\right) dx=- ctg(x) \csc^5(x) - 5\int ctg^{2}(x) \csc^5(x) dx

ze wzoru          \bl{ctg^2(x) = \csc^{2}(x) - 1}

- ctg(x) \csc^5(x) - 5\int \(\csc^{2}(x) - 1\) \csc^5(x) dx=- ctg(x) \csc^5(x) - 5 \int \left(\csc^{7}(x) - \csc^5(x)\right)dx

czyli

\int \csc^{7}(x)dx =- ctg(x) \csc^5(x) - 5 \int{\csc^{7}(x)dx+ 5 \int\csc^5(x)dx

\int \csc^{7}(x) dx=- \frac{1}{6} ctg(x) \csc^5(x) + \frac5{6} \int \csc^5(x) dx

obliczając analogicznie dla piątej potęgi

u=csc^3(x)                                                        v'=csc^2(x)

u'=- 3 ctg(x) \csc^3(x)                             v=-ctg(x)

\int{\csc^5(x) d x=- ctg(x) \csc^3{\left (x \right ) - 3 \int \csc^5(x) d x}} + 3 \int{\csc^3(x) dx

\int \csc^5(x) dx=- \frac{1}{4} ctg(x) \csc^3(x) + \frac3{4} \int \csc^3(x) dx

 

obliczając analogicznie dla trzeciej potęgi

 

u=csc(x)                                                        v'=csc^2(x)

u'=ctg(x) \csc^3(x)                             v=-ctg(x)
 

\int{\csc^{3}(x) dx=- ctg(x)\csc(x) - \int \csc^{3}(x)dx + \int \csc(x) dx

 

\int \csc^{3}(x) dx=- \frac{1}{2} ctg(x) \csc(x) + \frac{1}{2} \int{\csc(x) dx

 

Uwzględniając powyższe dostaniemy

 

- \frac{1}{6} ctg(x) \csc^5(x) - \frac{5}{24} ctg(x) \csc^3(x) + \frac{5}{8}\int \csc^3(x)dx = - \frac{1}{6} ctg(x) \csc^5(x) - \frac{5}{24} ctg(x) \csc^3(x) + \frac{5}{8} \left(- \frac{1}{2} ctg(x) \csc(x) + \frac{1}{2} \int{\csc(x) dx\right)

 

- \frac{1}{6} ctg(x) \csc^{5}(x) - \frac{5}{24} ctg(x) \csc^{3}(x) - \frac{5}{16} ctg(x) \csc(x) + \frac{5}{16}\int \frac{1}{\sin(x)} dx

 

 

ewentualnie można popróbować poskracać


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.06.2016 - 14:32

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską