Do kol.bb314.
Problem widzę tak :dla przypadku I).
Jesli mamy kąt aOb i dowolnym puktem P ( w opisie wczesniej to (T) )
to znalezienie prostej k takiej że PA=PB można dokonać kilkoma różnymi sposobami .
Najprościej z punktu P narysować odpowiedino proste równoległe do do a i b
Otrzymamy równoległobok którego przekątne dziela sie na połowę .
A punkt przeciecia P** leży na prostej OP .
Przesuwając równolegle tą prostą przekątnej (krótszej ) wzdłuż lini OP do punktu P
W oparciu o twierdzenie Talesa ,
otrzymamy szukaną prostą AB taką że AP=PB to nasz szukana prosta "k" wg oznaczeń ostatniego rys w powyższym poscie . ( inaczej to rys. równoległą w P do krótszej przekatnej w P** tego równoległoboku ).
Jest wiele metod wyznaczenia takiej prostej K .
A jak znaleść bezposrednio taką prosta "k" przechodzaca przez P , że AP=PB
bez stosowania twierdzenia Talesa
( bez przesuwania równoległego )
W nawiazaniu zagadnienia takiego że OA+OB = minimum
Tu mamy trójkąt AOB gdzie P jest srodkowa tego trójkata .
Długosc srodkowej z O do P wyraza sie wzorem
PA^2= 1/2(AO^2 +BO^2) -1/4 ( AB^2)
AO^2 +BO^2 = 1/2AB^2 +2CX^2
AO^2 +BO^2 =minimum dla wartosci gdy PO jest najmniejsze
to jest gdy O jest rzutem punkt P na prosta L prostopadła do PO w punkcie O
Przyjmujac że prosta L niech bedzie na osi OX
w tedy rzuto odpowiednie\o na ta oś z A I B wynoszą że O = (a+b)/2
jest to zarazem wartosc najmniejsza dla odcietej środka AB w punkcie P
Dla takiej prostej "k" że AP+ PB =min , to pole trójkata AOB jest najmniejsze .
PO jest zarazem promieniem dla koła o promieniu PO w punkcie P , bo prosta L
jest prostopadła do OP.
A jak ma sie to do problemu jak w punkcie III ). podanego prze ze mnie
że łamana lub prosta AP + PB = minimum .
Jak to konstrukcyjnie wykazać i uzasadnić na przykładzie tego
samego rys .podanego przez kol. " bb314 "
>to ciekawa animacja <
Czy tu kąty z tego punktu P odpowiadaja odpowiednio 120st . jak to podobnie wystepuje w przypadku szukania takiego punktu minimum Px do trzech wierzchołków w trójkącie .??/
Na marginesie : Ciekawostką może i być w tym zakresie materiał
zaczerpnięty z "DELTA" Nr (453) 2012 , strona 22 gdzie mowa jest o biegunowej prostopadłej
do IP Inwersja zachowuje prostopadłośc do biegunowej {IP Prostopadłe OP }
wg koła wpisanego w trójkąt .
Materiały Archiwalne z Delty znaleść można w podanym linku poniżej .
www.deltami.edu.pl
Dziekuję za uwagę i liczę o ile możliwe na dalszą pomoc w odniesieniu do punktu III ) .
Z szacunkiem
Tadeusz W.
22 odpowiedzi w tym temacie
#21
Napisano 25.10.2012 - 00:57
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#22
Napisano 26.10.2012 - 13:30
Czy suma OA+OB jest najmniejsza przy AP=BP?
Kiedy ona jest najmniejsza, przy jakim kącie beta?
Odpowiedź najlepiej jest samemu sprawdzić przeciągając punkt na końcu półprostej k.
Kliknij na to:
http://bb314.cba.pl/...ja_OA_P_OB.html
Jak znaleźć prostą k konstrukcyjnie? Na razie nie mam pojęcia.
Kiedy ona jest najmniejsza, przy jakim kącie beta?
Odpowiedź najlepiej jest samemu sprawdzić przeciągając punkt na końcu półprostej k.
Kliknij na to:
http://bb314.cba.pl/...ja_OA_P_OB.html
Jak znaleźć prostą k konstrukcyjnie? Na razie nie mam pojęcia.
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#23
Napisano 31.10.2012 - 09:58
Do Kol. pp314
Szukajac materiału na poruszony temat prostej k przechodzącej przez P tak aby AP=PB z
punktu P natrafiłem na ciekawy zestaw tematyczny pokrewny /w gogle link :(kopia )/
Temat ;" Dwustosuneki i biegunowe " autorstwa Dominik Burek 18 marzec 2012 r.
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf
Na uwagę zasługują przykłady wg zad . : 1.10 ; 2.1 ; 2.4
Ciekawostka jest to że np w zad 2.4 prowadzac z biegunowych A i B
dwusieczne to przetna sie one pod katem =90 st.
Zaś styczne z punktów P i Q ( inaczej potęgi ) po zatoczeniu przetną sie w innym punkcie
też pod katem 90 st. ( dualnosć biegunowa )
Zaś dwusieczna kąta DPA i kąta AQB
też przecina się pod katem 90st.
Na uwagę zasługuje zadanie 2.3 które jest podobne do zad. które przytoczyłem
z Delty Nr 2/ 2012 w poprzednim poscie .
Na tym rys. zad 2.3 Zauważamy ze dwusieczne z A i S do koła wpisanego w srodku I
przecinaja się w I pod katem 90st. ( Biegunowa AD jest prostopadła do SI tj inwersji z punktu S do okręgu wpisanego w środku I w trójkat ABC) .
Inwersja jest zawsze prostopadła do biegunowej wzgledem okręgu wpisanego w badany trójkat ,
w układzie dualnosci biegunowych .
Na marginesie moje niecodzienne zainteresowanie ;
To problemy bilarda okragłego dla dwóch piłeczek punktowych , gdzie szukamy metoda
konstrukcyjna takiego punktu T na bandzie koła bilarda , aby piłeczka z punktu A
trafiła w piłeczke B, zacowujac warunek że kąt padania = katowi odbicia wzgledem srodka koła bilarda okragłego .
. To materiał myśle że na od odzielny nowy temat dyskusyjny .
Dzieki za uwagę i proszę o komentarz do podanego materiału jak i tego z wcześniejszych postów .
Z powazaniem Tadeusz W.
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf
<p>Do Kol. pp314<br />
Szukajac materiału na poruszony temat prostej k przechodzącej przez P tak aby AP=PB z<br />
punktu P natrafiłem na ciekawy zestaw tematyczny pokrewny /w gogle link :(kopia )/<br />
<br />
Temat ;" Dwustosuneki i biegunowe " autorstwa Dominik Burek 18 marzec 2012 r.<br />
<br />
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf<br />
<br />
Na uwagę zasługują przykłady wg zad . : 1.10 ; 2.1 ; 2.4<br />
Ciekawostka jest to że np w zad 2.4 prowadzac z biegunowych A i B<br />
dwusieczne to przetna sie one pod katem =90 st.<br />
Zaś styczne z punktów P i Q ( inaczej potęgi ) po zatoczeniu przetną sie w innym punkcie<br />
też pod katem 90 st. ( dualnosć biegunowa )<br />
Zaś dwusieczna kąta DPA i kąta AQB<br />
też przecina się pod katem 90st.<br />
Na uwagę zasługuje zadanie 2.3 które jest podobne do zad. które przytoczyłem <br />
z Delty Nr 2/ 2012 w poprzednim poscie .<br />
Na tym rys. zad 2.3 Zauważamy ze dwusieczne z A i S do koła wpisanego w srodku I<br />
przecinaja się w I pod katem 90st. ( Biegunowa AD jest prostopadła do SI tj inwersji z punktu S do okręgu wpisanego w środku I w trójkat ABC) . <br />
Inwersja jest zawsze prostopadła do biegunowej wzgledem okręgu wpisanego w badany trójkat ,<br />
w układzie dualnosci biegunowych .<br />
<br />
Na marginesie moje niecodzienne zainteresowanie ;<br />
To problemy bilarda okragłego dla dwóch piłeczek punktowych , gdzie szukamy metoda <br />
konstrukcyjna takiego punktu T na bandzie koła bilarda , aby piłeczka z punktu A<br />
trafiła w piłeczke B, zacowujac warunek że kąt padania = katowi odbicia wzgledem srodka koła bilarda okragłego .<br />
. To materiał myśle że na od odzielny nowy temat dyskusyjny .<br />
Dzieki za uwagę i proszę o komentarz do podanego materiału jak i tego z wcześniejszych postów .<br />
<br />
Z powazaniem Tadeusz W.<br />
http://www.google.pl...421/dwustosunek
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf</p>
http://www.google.pl...ex=&startPage=1
<p>Do Kol. pp314<br />
Szukajac materiału na poruszony temat prostej k przechodzącej przez P tak aby AP=PB z<br />
punktu P natrafiłem na ciekawy zestaw tematyczny pokrewny /w gogle link :(kopia )/<br />
<br />
Temat ;" Dwustosuneki i biegunowe " autorstwa Dominik Burek 18 marzec 2012 r.<br />
<br />
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf<br />
<br />
Na uwagę zasługują przykłady wg zad . : 1.10 ; 2.1 ; 2.4<br />
Ciekawostka jest to że np w zad 2.4 prowadzac z biegunowych A i B<br />
dwusieczne to przetną się one pod katem =90 st.<br />
Zaś styczne z punktów P i Q ( inaczej potęgi ) po zatoczeniu przetną sie w innym punkcie<br />
też pod katem 90 st. ( dualnosć biegunowa )<br />
Zaś dwusieczna kąta DPA i kąta AQB<br />
też przecina się pod katem 90st.<br />
Na uwagę zasługuje zadanie 2.3 które jest podobne do zad. które przytoczyłem <br />
z Delty Nr 2/ 2012 w poprzednim poscie .<br />
Na tym rys. zad 2.3 Zauważamy ze dwusieczne z A i S do koła wpisanego w srodku I<br />
przecinaja się w I pod katem 90st. ( Biegunowa AD jest prostopadła do SI tj inwersji z punktu S do okręgu wpisanego w środku I w trójkat ABC) . <br />
Inwersja jest zawsze prostopadła do biegunowej wzgledem okręgu wpisanego w badany trójkat ,<br />
w układzie dualnosci biegunowych .<br />
<br />
Na marginesie moje niecodzienne zainteresowanie ;<br />
To problemy bilarda okragłego dla dwóch piłeczek punktowych , gdzie szukamy metoda <br />
konstrukcyjna takiego punktu T na bandzie koła bilarda , aby piłeczka z punktu A<br />
trafiła w piłeczke B, zacowujac warunek że kąt padania = katowi odbicia wzgledem srodka koła bilarda okragłego .<br />
. To materiał myśle że na od odzielny nowy temat dyskusyjny .<br />
Dzieki za uwagę i proszę o komentarz do podanego materiału jak i tego z wcześniejszych postów .<br />
<br />
Z powazaniem Tadeusz W.<br />
href='http://www.google.pl...#38;startPage=1' class='bbc_url' title='Zewnętrzny odnośnik' rel='nofollow external'>http://www.google.pl...tPage=1</a></p>
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf<br />
<a href='http://www.google.pl...421/dwustosunek' class='bbc_url' title='Zewnętrzny odnośnik' rel='nofollow external'>http://www.google.pl...stosunek</a><br />
<br />
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf</p><br />
<p>Do Kol. pp314<br /
dodatkowe załaczniki .
T.W.
Ciag dalszy do dualnosci biegunowych :
Ciekawostka w załaczniku jest to że : aby obliczyć DG
to korzystamy z Tw. Talesa
Wynika to z tego że łacząc punkty H i G oraz B z D
otrzymamy dwie proste równoległe Stad 8/4= 7/x , x=7*4/ 8 =3,5
Takich równoległych tu mozna znaleśc wiecej .
Kwestia dowodu jest chyba oczywista , w oparciu o ciekawe "zadania na dowodzenie" .
Jednoczesnie przepraszam że niektóre tresci skopiowały sie kilkakrotnie ,bo nie mam wprawy w edytowaniu poprawek wysłanych wczesniej .Dopiero sie tego też uczę .może i tu jakieś pouczenie
lub wskazania też by sie mi przytało na przyszłosć ,w tej dydaktyce .
Dodatkowy skromny mój zał .do kwestii bilarda okrągłego , tu widać kilka sposobów znalezienia punktu odbicia piłeczek o bandę w oparciu o okręgi Apoloniusza , które wyznaczają szukany punkt T
Te wszystkie materiały mają ze sobą wspólne dwustosunki (dualność , jak i punkty harmoniczne )
Dzikujękuję za uwagę .
Z szacunkiem T.W.
Szukajac materiału na poruszony temat prostej k przechodzącej przez P tak aby AP=PB z
punktu P natrafiłem na ciekawy zestaw tematyczny pokrewny /w gogle link :(kopia )/
Temat ;" Dwustosuneki i biegunowe " autorstwa Dominik Burek 18 marzec 2012 r.
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf
Na uwagę zasługują przykłady wg zad . : 1.10 ; 2.1 ; 2.4
Ciekawostka jest to że np w zad 2.4 prowadzac z biegunowych A i B
dwusieczne to przetna sie one pod katem =90 st.
Zaś styczne z punktów P i Q ( inaczej potęgi ) po zatoczeniu przetną sie w innym punkcie
też pod katem 90 st. ( dualnosć biegunowa )
Zaś dwusieczna kąta DPA i kąta AQB
też przecina się pod katem 90st.
Na uwagę zasługuje zadanie 2.3 które jest podobne do zad. które przytoczyłem
z Delty Nr 2/ 2012 w poprzednim poscie .
Na tym rys. zad 2.3 Zauważamy ze dwusieczne z A i S do koła wpisanego w srodku I
przecinaja się w I pod katem 90st. ( Biegunowa AD jest prostopadła do SI tj inwersji z punktu S do okręgu wpisanego w środku I w trójkat ABC) .
Inwersja jest zawsze prostopadła do biegunowej wzgledem okręgu wpisanego w badany trójkat ,
w układzie dualnosci biegunowych .
Na marginesie moje niecodzienne zainteresowanie ;
To problemy bilarda okragłego dla dwóch piłeczek punktowych , gdzie szukamy metoda
konstrukcyjna takiego punktu T na bandzie koła bilarda , aby piłeczka z punktu A
trafiła w piłeczke B, zacowujac warunek że kąt padania = katowi odbicia wzgledem srodka koła bilarda okragłego .
. To materiał myśle że na od odzielny nowy temat dyskusyjny .
Dzieki za uwagę i proszę o komentarz do podanego materiału jak i tego z wcześniejszych postów .
Z powazaniem Tadeusz W.
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf
<p>Do Kol. pp314<br />
Szukajac materiału na poruszony temat prostej k przechodzącej przez P tak aby AP=PB z<br />
punktu P natrafiłem na ciekawy zestaw tematyczny pokrewny /w gogle link :(kopia )/<br />
<br />
Temat ;" Dwustosuneki i biegunowe " autorstwa Dominik Burek 18 marzec 2012 r.<br />
<br />
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf<br />
<br />
Na uwagę zasługują przykłady wg zad . : 1.10 ; 2.1 ; 2.4<br />
Ciekawostka jest to że np w zad 2.4 prowadzac z biegunowych A i B<br />
dwusieczne to przetna sie one pod katem =90 st.<br />
Zaś styczne z punktów P i Q ( inaczej potęgi ) po zatoczeniu przetną sie w innym punkcie<br />
też pod katem 90 st. ( dualnosć biegunowa )<br />
Zaś dwusieczna kąta DPA i kąta AQB<br />
też przecina się pod katem 90st.<br />
Na uwagę zasługuje zadanie 2.3 które jest podobne do zad. które przytoczyłem <br />
z Delty Nr 2/ 2012 w poprzednim poscie .<br />
Na tym rys. zad 2.3 Zauważamy ze dwusieczne z A i S do koła wpisanego w srodku I<br />
przecinaja się w I pod katem 90st. ( Biegunowa AD jest prostopadła do SI tj inwersji z punktu S do okręgu wpisanego w środku I w trójkat ABC) . <br />
Inwersja jest zawsze prostopadła do biegunowej wzgledem okręgu wpisanego w badany trójkat ,<br />
w układzie dualnosci biegunowych .<br />
<br />
Na marginesie moje niecodzienne zainteresowanie ;<br />
To problemy bilarda okragłego dla dwóch piłeczek punktowych , gdzie szukamy metoda <br />
konstrukcyjna takiego punktu T na bandzie koła bilarda , aby piłeczka z punktu A<br />
trafiła w piłeczke B, zacowujac warunek że kąt padania = katowi odbicia wzgledem srodka koła bilarda okragłego .<br />
. To materiał myśle że na od odzielny nowy temat dyskusyjny .<br />
Dzieki za uwagę i proszę o komentarz do podanego materiału jak i tego z wcześniejszych postów .<br />
<br />
Z powazaniem Tadeusz W.<br />
http://www.google.pl...421/dwustosunek
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf</p>
http://www.google.pl...ex=&startPage=1
<p>Do Kol. pp314<br />
Szukajac materiału na poruszony temat prostej k przechodzącej przez P tak aby AP=PB z<br />
punktu P natrafiłem na ciekawy zestaw tematyczny pokrewny /w gogle link :(kopia )/<br />
<br />
Temat ;" Dwustosuneki i biegunowe " autorstwa Dominik Burek 18 marzec 2012 r.<br />
<br />
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf<br />
<br />
Na uwagę zasługują przykłady wg zad . : 1.10 ; 2.1 ; 2.4<br />
Ciekawostka jest to że np w zad 2.4 prowadzac z biegunowych A i B<br />
dwusieczne to przetną się one pod katem =90 st.<br />
Zaś styczne z punktów P i Q ( inaczej potęgi ) po zatoczeniu przetną sie w innym punkcie<br />
też pod katem 90 st. ( dualnosć biegunowa )<br />
Zaś dwusieczna kąta DPA i kąta AQB<br />
też przecina się pod katem 90st.<br />
Na uwagę zasługuje zadanie 2.3 które jest podobne do zad. które przytoczyłem <br />
z Delty Nr 2/ 2012 w poprzednim poscie .<br />
Na tym rys. zad 2.3 Zauważamy ze dwusieczne z A i S do koła wpisanego w srodku I<br />
przecinaja się w I pod katem 90st. ( Biegunowa AD jest prostopadła do SI tj inwersji z punktu S do okręgu wpisanego w środku I w trójkat ABC) . <br />
Inwersja jest zawsze prostopadła do biegunowej wzgledem okręgu wpisanego w badany trójkat ,<br />
w układzie dualnosci biegunowych .<br />
<br />
Na marginesie moje niecodzienne zainteresowanie ;<br />
To problemy bilarda okragłego dla dwóch piłeczek punktowych , gdzie szukamy metoda <br />
konstrukcyjna takiego punktu T na bandzie koła bilarda , aby piłeczka z punktu A<br />
trafiła w piłeczke B, zacowujac warunek że kąt padania = katowi odbicia wzgledem srodka koła bilarda okragłego .<br />
. To materiał myśle że na od odzielny nowy temat dyskusyjny .<br />
Dzieki za uwagę i proszę o komentarz do podanego materiału jak i tego z wcześniejszych postów .<br />
<br />
Z powazaniem Tadeusz W.<br />
href='http://www.google.pl...#38;startPage=1' class='bbc_url' title='Zewnętrzny odnośnik' rel='nofollow external'>http://www.google.pl...tPage=1</a></p>
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf<br />
<a href='http://www.google.pl...421/dwustosunek' class='bbc_url' title='Zewnętrzny odnośnik' rel='nofollow external'>http://www.google.pl...stosunek</a><br />
<br />
students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf</p><br />
<p>Do Kol. pp314<br /
dodatkowe załaczniki .
T.W.
Ciag dalszy do dualnosci biegunowych :
Ciekawostka w załaczniku jest to że : aby obliczyć DG
to korzystamy z Tw. Talesa
Wynika to z tego że łacząc punkty H i G oraz B z D
otrzymamy dwie proste równoległe Stad 8/4= 7/x , x=7*4/ 8 =3,5
Takich równoległych tu mozna znaleśc wiecej .
Kwestia dowodu jest chyba oczywista , w oparciu o ciekawe "zadania na dowodzenie" .
Jednoczesnie przepraszam że niektóre tresci skopiowały sie kilkakrotnie ,bo nie mam wprawy w edytowaniu poprawek wysłanych wczesniej .Dopiero sie tego też uczę .może i tu jakieś pouczenie
lub wskazania też by sie mi przytało na przyszłosć ,w tej dydaktyce .
Dodatkowy skromny mój zał .do kwestii bilarda okrągłego , tu widać kilka sposobów znalezienia punktu odbicia piłeczek o bandę w oparciu o okręgi Apoloniusza , które wyznaczają szukany punkt T
Te wszystkie materiały mają ze sobą wspólne dwustosunki (dualność , jak i punkty harmoniczne )
Dzikujękuję za uwagę .
Z szacunkiem T.W.