Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

całka niewłaściwa drugiego rodzaju

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.03.2012 - 19:53

Proszę o pomoc, ogólnie nie mam problemu z policzeniem całki...jest problem z zakończeniem zadania bo wychodzi mi że jest zbieżna a ma być podobno rozbieżna:

\int_{-1}^{1} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x^5}}  dx

Użytkownik bronstein edytował ten post 26.03.2012 - 19:53

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2012 - 06:40

\int \frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}} dx=\int ( x^{-\frac{2}{3}}-x^{-\frac{5}{3}})dx= {3}x^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}=

<br></p><p>\int_{-1}^1 \frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}} dx = \lim_{x\to 0^-}({3}x^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})- \frac{21}{8}+\frac{27}{8}-\lim_{x\to 0^+}({3}x^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})= \frac{6}{8}+\infty -\infty=-\infty

Dlaczego?
Analizując funkcje dla których liczymy granice łatwo można stwierdzić, że dla 0^+ funkcją zmierza ku nieskończoności szybciej niż dla 0^-.

Użytkownik lost edytował ten post 27.03.2012 - 07:00

  • 1

#3 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2012 - 11:35

\int \frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x=\int x^{-\frac{2}{3}}-x^{-\frac{5}{3}} \mbox{d}x = {3}x^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}<br />\\\int_{-1}^1\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x=\lim_{a\to 0^-}\int_{-1}^a\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x+\lim_{b\to 0^+}\int_b^1\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x<br />\\\lim_{b\to 0^+}\int_{b}^1\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x=3+\frac{3}{2}-\lim_{b\to 0^+}\({3}b^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}\)=-\infty<br />\\

całka jest rozbieżna, jeśli chociaż jedna z całek składowych jest rozbieżna, więc drugiej nie trzeba już badać.
  • 1

#4 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2012 - 14:38

\int \frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x=\int x^{-\frac{2}{3}}-x^{-\frac{5}{3}} \mbox{d}x = {3}x^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}<br />\int_{-1}^1\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x=\lim_{a\to 0^-}\int_{-1}^a\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x+\lim_{b\to 0^+}\int_b^1\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x<br />\lim_{b\to 0^+}\int_{b}^1\frac{x-1}{x^{\frac{5}{3}}}\mbox{d}x=3+\frac{3}{2}-\lim_{b\to 0^+}\({3}b^{\frac{1}{3}} +\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}\)=-\infty<br />

całka jest rozbieżna, jeśli chociaż jedna z całek składowych jest rozbieżna, więc drugiej nie trzeba już badać.


To tu nie działa ta symbolika nieoznaczona tzn. jak wyjdzie \infty-\infty?

@lost

dla mnie tak samo szybko zbiegają, tzn. nie widzę dlaczego jedna ma uciekać szybciej niż druga...
  • 0

#5 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.03.2012 - 21:07

To tu nie działa ta symbolika nieoznaczona tzn. jak wyjdzie \infty-\infty?


Nie, każdą z całek liczymy z osobna. Mamy zresztą różne granice: a\to 0^- i b\to 0^+, więc jak to liczyć razem?
  • 0

#6 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.03.2012 - 07:07


Nie, każdą z całek liczymy z osobna. Mamy zresztą różne granice: a\to 0^- i b\to 0^+, więc jak to liczyć razem?


Druga linijka obejmuje dwie granice jednym działaniem, jeżeli policzysz jedną i drugą wstawiasz wyniki i liczysz "łączną" granicę.
  • 0

#7 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2012 - 23:44

Chyba nie rozumiem. Możesz pokazać, jak byś to liczył?
  • 0

#8 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.03.2012 - 14:04

Chyba nie rozumiem. Możesz pokazać, jak byś to liczył?


Tak jak @lost ale jego uzasadnienie mi nie pasuje.
  • 0

#9 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.04.2012 - 19:40

Weźmy coś takiego:

\int_{-\infty}^{\infty} 2x\mbox{d}x

i teraz:

\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{0} 2x\mbox{d}x+\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{a} 2x\mbox{d}x=\lim_{a\to\infty}a^2-a^2=0<br />\\\lim_{a\to\infty}\int_{-2a}^{0} 2x\mbox{d}x+\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{a} 2x\mbox{d}x=\lim_{a\to\infty}a^2-4a^2=-\infty<br />\\\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{0} 2x\mbox{d}x+\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{2a} 2x\mbox{d}x=\lim_{a\to\infty}4a^2-a^2=\infty<br />\\\lim_{a\to\infty}\int_{-\(a-\frac{1}{a}\)}^{0} 2x\mbox{d}x+\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{\(a+\frac{1}{a}\)} 2x\mbox{d}x=\lim_{a\to\infty}\(a+\frac{1}{a}\)^2-\(a-\frac{1}{a}\)^2=4<br />\\\lim_{a\to\infty}\int_{-\(a+\frac{1}{a}\)}^{0} 2x\mbox{d}x+\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{\(a-\frac{1}{a}\)} 2x\mbox{d}x=\lim_{a\to\infty}\(a-\frac{1}{a}\)^2-\(a+\frac{1}{a}\)^2=-4<br />\\

i jak widać, możemy uzyskać dowolny wynik
  • 1