Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

gęstość, dystrybuanta, wykres, moda i mediana, wartość oczekiwana

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
12 odpowiedzi w tym temacie

#1 Diona

Diona

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 123 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.03.2012 - 20:14

Zmienna losowa x ma gęstość: F(x)=\{0\,\,\,dla\,\,\,-\infty<x\le-2\\-3(x^2+3x+2)\,\,\,dla\,\,\,-2<x\le-1\\0\,\,\,dla\,\,\,-1<x\le0\\-3(x^2-x)\,\,\,dla\,\,\,0<x\le1\\0\,\,\,dla\,\,\,1<x<+\infty
Określić dystrybuantę tej zmiennej oraz wartość oczekiwaną.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.03.2012 - 12:43

\mbox{dla }x\leq -2\;\;F(x)=0\\<br></p><p>\mbox{dla }-2&lt;x\leq -1\;\;F(x)=\int_{-2}^x\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)\\<br></p><p>\mbox{dla }-1&lt;x\leq 0\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^x0\mbox{d}t\\<br></p><p>\mbox{dla }0&lt;x\leq 1\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^x(-3(t^2-t))\mbox{d}t\\<br></p><p>\mbox{dla }x&gt;1\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^1(-3(t^2-t))\mbox{d}t+\int_1^x0\mbox{d}t\\<br></p><p><br></p><p><br />\\\mbox{E}X=\int_{\mathbb{R}}x\cdot f(x)\mbox{d}x<br />\\
  • 1

#3 Diona

Diona

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 123 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2012 - 12:56

\mbox{dla }x\leq -2\;\;F(x)=0\\<br></p><p>\mbox{dla }-2&lt;x\leq -1\;\;F(x)=\int_{-2}^x\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)\\<br></p><p>\mbox{dla }-1&lt;x\leq 0\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^x0\mbox{d}t\\<br></p><p>\mbox{dla }0&lt;x\leq 1\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^x(-3(t^2-t))\mbox{d}t\\<br></p><p>\mbox{dla }x&gt;1\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^1(-3(t^2-t))\mbox{d}t+\int_1^x0\mbox{d}t\\<br></p><p><br></p><p>


Proszę o sprawdzenie zadania, bo nie jestem pewna rozwiązania i wydaje mi się, że coś źle robię:

\mbox{dla }x\leq -2\;\;F(x)=\int_{-\infty}^{x}0dt=0\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }-2&lt;x\leq -1\;\;F(x)=\int_{-\infty}^{-2}0dt+\int_{-2}^x\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)=(-3)*(\frac{t^3}{3}+3\frac{t^2}{2}+2)|_{-2}^{x}=(-3)*(\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}+2)-(-3)*(\frac{(-2^3)}{3}+3\frac{(-2^2)}{2}+2)=-x^3-4,5x^2+10=-4,5x^5+10\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }-1&lt;x\leq 0\;\;F(x)=\int_{-\infty}^{-2}0dt+\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^x0\mbox{d}t=(-3)*(\frac{t^3}{3}+3\frac{t^2}{2}+2)|_{-2}^{-1}=(-3)*(\frac{(-1^3)}{3}+3\frac{(-1^2)}{2}+2)-(-3)*(\frac{(-2^3)}{3}+3\frac{(-2^2)}{2}+2)=6,5\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }0&lt;x\leq 1\;\;F(x)=\int_{-\infty}^{-2}0dt+\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^x(-3(t^2-t))\mbox{d}t=6,5+(-3*(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}))|_0^x=6,5+(-3*(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}))=6,5-1,5x\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }x&gt;1\;\;F(x)=\int_{-\infty}^{-2}0dt+\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^1(-3(t^2-t))\mbox{d}t+\int_1^x0=6,5+(-3*(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2})|_0^1=6,5+(-3*(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}))=0,5\mbox\\<br></p><p><br></p><p>
  • 0

#4 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2012 - 15:26

\int-3(t^2+3t+2)\mbox{d}t=-3\(\frac{t^3}{3}+\frac{3t^2}{2}+2\re t\)
  • 1

#5 Diona

Diona

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 123 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2012 - 19:12

\mbox{dla }-2&lt;x\leq -1\;\;F(x)=\int_{-2}^x\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)|_{-2}^x=-3(\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x)-(-3(\frac{-2^3}{3}+\frac{3*(-2)^2}{2}+2*(-2))=-x^3-4,5x^2-6x-2\\<br></p><p><br />\\

czy z tym wynikiem powinno się jeszcze coś zrobić? (jeśli rozwiązanie jest poprawne?)

Użytkownik Diona edytował ten post 13.03.2012 - 19:12

  • 0

#6 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2012 - 19:20

F(x)=\int_{-2}^x\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)=-3\(\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x\)-\(-3\(\frac{(-2)^3}{3}+\frac{3(-2)^2}{2}+2\cdot (-2)\)\)=-x^3-4,5x^2-6x-2

nic więcej się z tym nie robi :)

Użytkownik sakhmet edytował ten post 13.03.2012 - 19:31

  • 1

#7 Diona

Diona

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 123 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 14.03.2012 - 20:24

dystrybuanta:
\mbox{dla }x\leq -2\;\;F(x)=\int_{-\infty}^x0dt=0\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }-2<x\leq -1\;\;F(x)=\int_{-2}^x\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)=-x^3-4,5x^2-6x-2\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }-1<x\leq 0\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^x0\mbox{d}t=\frac{1}{2}\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }0<x\leq 1\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^x(-3(t^2-t))\mbox{d}t=\frac{1}{2}-x^3+1,5x^2\\<br></p><p>\mbox<br />{dla }x>1\;\;F(x)=\int_{-2}^{-1}\(-3\(t^2+3t+2\)\mbox{d}t\)+\int_{-1}^00\mbox{d}t+\int_{0}^1(-3(t^2-t))\mbox{d}t+\int_1^x0\mbox{d}t=1\\<br></p><br />F(x)=\{0\,\,\,dla\,\,\,-\infty<x\le-2\\-x^3-4,5x^2-6x-2\,\,\,dla\,\,\,-2<x\le-1\\\frac{1}{2}\,\,\,dla\,\,\,-1<x\le0\\\frac{1}{2}-x^3+1,5x^2\,\,\,dla\,\,\,0<x\le1\\1\,\,\,dla\,\,\,1<x<+\infty<br />

wartość oczekiwana
<br /><p><br></p><p><br />\mbox{E}X=\int_{\mathbb{R}}x\cdot f(x)\mbox{d}x=\int_{-\infty}^{-2}x*0dx+\int_{-2}^{-1}x*-3(x^2+3x+2)dx+\int_{-1}^0x*0dx+\int_{0}^1x*-3(x^2-x)dx+\int_{1}^{-\infty}x*0dx=3

Jak do tego zadania liczy się medianę i dominantę jeśli w zadaniu jest jeszcze obliczyć prawdopodobieństwo P(0<x<1/2)?
Czy to prawdopodobieństwo liczy się z gęstości czy z dystrybuanty?
To samo tyczy się mediany i dominanty. Proszę o przykład lub rozpisanie tego do tego przykładu.

Użytkownik Diona edytował ten post 14.03.2012 - 20:28

  • 0

#8 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 14.03.2012 - 21:31

prawdopodobieństwo można policzyć na dwa sposoby:
P\(0&lt;X&lt;\frac{1}{2}\)=F\(\frac{1}{2}\)-F(0)\\<br></p><p>P\(0&lt;X&lt;\frac{1}{2}\)=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\mbox{d}x


medianę też można liczyć korzystając z gęstości lub z dystrybuanty (tu łatwiej będzie z dystrybuanty)
Mediana spełnia dwa warunki:
F(\mbox{Me})=\frac{1}{2}\\<br></p><p>\int_{-\infty}^{\mbox{Me}}f(x)\mbox{d}x=\frac{1}{2}

to szukamy mediany korzystając z dystrybuanty:

-x^3-4,5x^2-6x-2=\frac{1}{2}\;\;\wedge \;\; -2&lt;x\leq -1\Rightarrow x=-1\\ - mediana na tym przedziale
w przedziale (-1,0] każda liczba będzie medianą bo dystrybuanta jest tu stale równa 0,5
\frac{1}{2}-x^3+1,5x^2=\frac{1}{2}\;\;\wedge \;\;0<x\leq 1 - w tym przedziale równanie nie ma rozwiązania
zatem medianą są wszystkie liczby należące do przedziału [-1,0]


dominanta to wartość dla której gęstość osiąga maksimum
f_1(x)=-3(x^2+3x+2) osiąga wartość największa w x=\frac{-3}{2} a f_2(x)=-3(x^2-x) osiąga wartość największa w x=\frac{1}{2}
czyli istnieją dwie mody: \mbox{Mo}=-\frac{3}{2} i \mbox{Mo}=\frac{1}{2}
  • 1

#9 Diona

Diona

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 123 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.03.2012 - 11:07

prawdopodobieństwo można policzyć na dwa sposoby:
P\(0&lt;X&lt;\frac{1}{2}\)=F\(\frac{1}{2}\)-F(0)\\<br></p><p>P\(0&lt;X&lt;\frac{1}{2}\)=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\mbox{d}x


Jeśli we wzorze gęstości mamy dwa równania (a reszta to zero) tutaj są to:
<p>-3(x^2+3x+2)\,\,\,\,dla\,\,\,\,-2<x\le-1<p>
<p>-3(x^2-x)\,\,\,\,dla\,\,\,\,0<x\le1</p>
to prawdopodobieństwo liczymy dla każdego z nich z osobna czy może te wyniki potem się dodaje?
Policzyłam dla każdego z osobna i wyszło mi:
\int_0^{\frac{1}{2}}-3(x^2+3x+2)dx=-3(\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x)|_0^{\frac{1}{2}}=1,5
\int_0^{\frac{1}{2}}-3(x^2-x)dx=-3(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}|_0^{\frac{1}{2}})=-\frac{1}{8}
  • 0

#10 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.03.2012 - 16:15

Liczymy w zakresie x\in\(0,\frac{1}{2}\), więc stosujemy wzór -3(x^2-x), bo on obowiązuje w przedziale (0,1]. Gdyby np. liczyć P(-3<X<2), to wtedy:

P(-3<X<2)=\int_{-3}^2 f(x)\,dx=\int_{-3}^{-2}0\,dx+\int_{-2}^{-1}-3(x^2+3x+2)\,dx+\int_{-1}^00\,dx+\int_0^{1}-3(x^2-x)\,dx+\int_1^20\,dx

czyli rozbijamy całkę na poszczególne przedziały
  • 1

#11 Diona

Diona

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 123 postów
8
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.03.2012 - 11:12

 \int_0^{\frac{1}{2}}-3(x^2-x)dx=-3(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}})|_0^{\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}

czy prawdopodobieństwo może wyjść ujemne?

Użytkownik Diona edytował ten post 16.03.2012 - 11:14

  • 0

#12 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.03.2012 - 14:38

czy prawdopodobieństwo może wyjść ujemne?

Z definicji prawdopodobieństwo jest liczbą \bl\ \ \  0\leq P\leq1\ \ \ \ :shifty:
  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#13 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.03.2012 - 15:36

ta całka nie jest ujemna

\int_0^{\frac{1}{2}}-3(x^2-x)\mbox{d}x=-3\[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\]_0^{\frac{1}{2}}=-3\(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\)=\frac{1}{4}
  • 1