Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Oblicz wszystkie wartości poniższych pierwiastków

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
11 odpowiedzi w tym temacie

#1 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2012 - 23:12

\sqrt[4]{1-i\sqrt{3}}
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 octahedron

octahedron

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 2068 postów
1145
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2012 - 23:39

1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}<br />\\z_1=\sqrt[4]{2}e^{-i\frac{\pi}{12}}<br />\\z_2=\sqrt[4]{2}e^{-i\frac{\pi}{12}+i\frac{\pi}{2}}=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}<br />\\z_3=\sqrt[4]{2}e^{-i\frac{\pi}{12}+i\pi}=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{11\pi}{12}}<br />\\z_4=\sqrt[4]{2}e^{-i\frac{\pi}{12}+i\frac{3\pi}{2}}=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}
  • 0

#3 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2012 - 09:24

Można to zapisać w inny sposób bez liczby e ?
  • 0

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.03.2012 - 12:41

\bl x=\sqrt[4]{1-i\sqrt{3}}


z=1-i\sqrt{3}

----------------------------------------
postać ogólna liczby zespolonej

z=a+bi

moduł liczby zespolonej
|z|=\sqrt{a^2+b^2}

argument liczby zespolonej \varphi taki, że
cos\varphi=\frac{a}{|z|}\ \ \ sin\varphi=\frac{b}{|z|}

postać trygonometryczna liczby zespolonej
z=|z|(cos\varphi+i\cdot sin\varphi)\ \ \ \

z^n=\(|z|\)^n\(cos{(n\cdot \varphi)} + i\cdot sin{(n\cdot \varphi)}\)
--------------------------------------

|z|=\sqrt{1+\(-sqrt3\)^2}=\sqrt{1+3}=2
z=2(\frac{1}{2}-\frac{sqrt3}{2}i)=2(cos{60^o}-i\cdot sin{60^o})=2(cos{\frac{\p}{3}}-i\cdot sin{\frac{\p}{3}})

x=\sqrt[4]{z}=z^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}\(cos{\frac{2k\p+\frac{\p}{3}}{4}}-i\cdot sin{\frac{2k\p+\frac{\p}{3}}{4}}\)\ \ \ \ k\in{0,\ 1,\ 2, \ 3}

\re x_1\ =\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{2\cdot 0\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}-i\cdot sin{\frac{2\cdot 0\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}\)=\ \re \sqrt[4]{2}\(cos{\frac{\p}{12}}-i\cdot sin{\frac{\p}{12}}\)

x_2=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{2\cdot 1\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}-i\cdot sin{\frac{2\cdot 1\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}\)=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{7\p}{12}}-i\cdot sin{\frac{7\p}{12}}\)=\sqrt[4]{2}\(cos{(\p-\frac{5\p}{12}})-i\cdot sin{(\p-\frac{5\p}{12}})\)\
\re x_2=\sqrt[4]{2}\(-cos{\frac{5\p}{12}}-i\cdot sin{\frac{5\p}{12}}\)


x_3=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{2\cdot 2\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}-i\cdot sin{\frac{2\cdot 2\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}\)=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{13\p}{12}}-i\cdot sin{\frac{13\p}{12}}\)=\sqrt[4]{2}\(cos{(\p+\frac{\p}{12}})-i\cdot sin{(\p+\frac{\p}{12}})\)\
\re x_3=\sqrt[4]{2}\(-cos{\frac{\p}{12}}+i\cdot sin{\frac{\p}{12}}\)


x_4=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{2\cdot 3\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}-i\cdot sin{\frac{2\cdot 3\cdot \p+\frac{\p}{3}}{4}}\)=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{19\p}{12}}-i\cdot sin{\frac{19\p}{12}}\)=\sqrt[4]{2}\(cos{(2\p-\frac{5\p}{12}})-i\cdot sin{(2\p-\frac{5\p}{12}})\)\
\re x_4=\sqrt[4]{2}\(cos{\frac{5\p}{12}}+i\cdot sin{\frac{5\p}{12}}\)\ \ \ \ :shifty:

\bl\fbox{ x_1=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\frac{-1}{12}i\p}\\\ \\x_2=-\sqrt[4]{2}\cdot e^{\frac{5}{12}i\p}\\\ \\x_3=-\sqrt[4]{2}\cdot e^{\frac{-1}{12}i\p}\\\ \\x_4=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\frac{5}{12}i\p}}
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#5 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.03.2012 - 10:06

Ja zrobiłem z argumentem z=2(\frac{5}{3}\pi+isin\frac{5}{3}\pi)
Dobrze ? :huh:

Użytkownik Tomyx666 edytował ten post 02.03.2012 - 10:09

  • 0

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 02.03.2012 - 10:21

Ja zrobiłem z argumentem z=2(\frac{5}{3}\pi+isin\frac{5}{3}\pi)
Dobrze ? :huh:

Możesz to sprawdzić samemu. Podnieś swój wynik do 4-tej potęgi. Powinno wyjść \bl 1-\sqrt3 i\ \ \ \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#7 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.04.2012 - 19:56

Sorka , że do tego wracam ale jakoś , nie mogę się doliczyć tego wyniku . ;-/
  • 0

#8 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.04.2012 - 20:04

To nic złego, że chcesz dogłębnie zrozumieć problem. Nie masz za co przepraszać. Musisz tylko uściślić, którego fragmentu jeszcze nie czaisz\ \ \ :shifty:
  • 0

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#9 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.04.2012 - 20:23

Nie czaję dlaczego zapisałaś postać trygonometryczną liczby zespolonej tak:

z=2(\frac{1}{2}-\frac{sqrt3}{2}i)=2(cos{60^o}-i\cdot sin{60^o})=2(cos{\frac{\p}{3}}-i\cdot sin{\frac{\p}{3}})

Mi wychodzi taka :
z=2(\frac{5}{3}\pi+isin\frac{5}{3}\pi)
Kąt 2\pi -\alpha

Użytkownik Tomyx666 edytował ten post 05.04.2012 - 20:23

  • 0

#10 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.04.2012 - 21:29

z=2(\frac{5}{3}\pi+isin\frac{5}{3}\pi)

ale to jest to samo

z=2\(cos{\frac{5}{3}\pi}+isin\frac{5}{3}\pi\)=2\(cos{(2\p-\frac{1}{3}\pi)}+isin(2\p-\frac{1}{3}\pi)\)=

=2\(cos {\frac{1}{3}\pi}+i(-\sin\frac{1}{3}\pi)\)=\ \bl 2\(\cos\frac{\p}{3}-i\sin\frac{\p}{3}\)\ \ \ \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#11 Tomyx666

Tomyx666

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 285 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.04.2012 - 09:29

Myślałem tak od początku , czekałem tylko na potwierdzenie ;)
  • 0

#12 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.04.2012 - 12:54

\bl z=2\(cos{\frac{5}{3}\pi}+isin\frac{5}{3}\pi\)\


funkcje sinus i cosinus są okresowe (okres wynosi 2\p), więc jeżeli mamy znaleźć pierwiastki n stopnia
to wypisujemy n równoważnych postaci

w naszym przypadku n=4, więc

z_1=2\(cos{\frac{5}{3}\pi}+isin\frac{5}{3}\pi\)
z_2=2\(cos{(\frac{5}{3}\pi+2\pi)}+isin(\frac{5}{3}\pi+2\p)\)=2\(cos{\frac{11}{3}\pi}+isin\frac{11}{3}\pi\)
z_3=2\(cos{(\frac{5}{3}\pi+4\pi)}+isin(\frac{5}{3}\pi+4\p)\)=2\(cos{\frac{17}{3}\pi}+isin\frac{17}{3}\pi\)
z_2=2\(cos{(\frac{5}{3}\pi+6\pi)}+isin(\frac{5}{3}\pi+6\p)\)=2\(cos{\frac{23}{3}\pi}+isin\frac{23}{3}\pi\)

x_1=\sqrt[4]{z_1}=(z_1)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}\(cos{\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{3}\pi}+isin{\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{3}\pi}\)=\sqrt[4]2\(cos{\frac{5}{12}\pi}+isin{\frac{5}{12}\pi}\)

x_2=\sqrt[4]{z_2}=(z_2)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}\(cos{\frac{1}{4}\cdot\frac{11}{3}\pi}+isin{\frac{1}{4}\cdot\frac{11}{3}\pi}\)=\sqrt[4]2\(cos{\frac{11}{12}\pi}+isin{\frac{11}{12}\pi}\)

x_3=\sqrt[4]{z_3}=(z_3)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}\(cos{\frac{1}{4}\cdot\frac{17}{3}\pi}+isin{\frac{1}{4}\cdot\frac{17}{3}\pi}\)=\sqrt[4]2\(cos{\frac{17}{12}\pi}+isin{\frac{17}{12}\pi}\)=-\sqrt[4]2\(cos{\frac{5}{12}\pi}+isin{\frac{5}{12}\pi}\)

x_4=\sqrt[4]{z_4}=(z_4)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}\(cos{\frac{1}{4}\cdot\frac{23}{3}\pi}+isin{\frac{1}{4}\cdot\frac{23}{3}\pi}\)=\sqrt[4]2\(cos{\frac{23}{12}\pi}+isin{\frac{23}{12}\pi}\)=-\sqrt[4]2\(cos{\frac{11}{12}\pi}+isin{\frac{11}{12}\pi}\)\ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty:
  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..






Tematy podobne do: Oblicz wszystkie wartości poniższych pierwiastków     x