Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Koło wpisane w trójkąt

LICEUM promień okręgu wpisanego

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 aneczekk

aneczekk

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 19 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.02.2012 - 20:25

Promień okregu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 2. Tanges jednego z kątów ostrych wynosi \frac{3}{4}. Oblicz odległość między wierzchołkiem kąta prostego a punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną.

Dziękuje za pomoc :D
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.02.2012 - 22:20

Skoro tg jednego z kątów ostrych tego trójkąta prostokątnego \ = \frac{3}{4}\ to znaczy, że przyprostokątne są w stosunku 3:4, a to oznacza, że mamy do czynienia z trójkątem podobnym do pitagorejskiego o bokach w stosunku 3:4:5

Jeśli przyjmiemy najkrótszy bok = 3a\ , to przeciwprostokątna ma długość 5a\ .

Niech M\ będzie punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną, naprzeciw niej wierzchołek [tez]A\ [/tex] i drugi wierzchołek przy krótszej przyprostokątnej C\
MC=AC-r=3a-r

pole powierzchni trójkąta
S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot 3a=6a^2
z drugiej strony to pole
S=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)\cdot r=\frac{1}{2}(3a+4a+5a)r=6ar
6a^2=6ar \gr\ \ \Rightarrow\ \bl a=r=2

MC=AC-r=3a-r=3r-r=2r

szukana odległość z tw. cosinusów
AM^2=AC^2+MC^2-2\cdot AC\cdot MC\cdot cos(<ACB)=(3a)^2+(2r)^2-2\cdot 3a\cdot 2r\cdot \frac{AC}{BC}=
=(3r)^2+4r^2-2\cdot3\cdot r\cdot2r\cdot\frac{3}{5}=9r^2+4r^2-\frac{36}{5}r^2=\frac{29}{5}r^2=\frac{4\cdot 29}{5} \gr\ \ \Rightarrow\ \re\fbox{\ AM=\frac{2sqrt{145}}{5}\ }\ \ \ \ :shifty:
  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..