Skocz do zawartości


Zdjęcie

Dwusieczna i środkowa w trójkącie

LICEUM

Ten temat został zarchiwizowany. Nie można odpowiadać w tym temacie.
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Kinia7

Kinia7

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 116 postów
3
Neutralny

Napisano 22.02.2012 - 12:33

W trójkącie ABC o polu =S, boku BC=a, boku AC=b poprowadzono środkową BD i dwusieczną CE, które przecinają się w punkcie F. Obliczyć pole czworokąta AEFD.

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3277 postów
2980
Profesor

Napisano 23.02.2012 - 21:03

\re x\ - pole czworokąta AEFD\ ?
\bl S\ - pole trójkąta ABC
S_1\ - pole trójkąta EBF
S_2\ - pole trójkąta BCF
S_3\ - pole trójkąta CDF

Trojkat_892.jpg


środkowa zawsze dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych powierzchniach
S_2+S_3=\frac{1}{2}S\ \ \(^{*1}\)
x+S_1=\frac{1}{2}S\gr\ \ \Rightarrow\ \bl S_1=\frac{1}{2}S-x

dwusieczna zawsze dzieli trójkąt na dwa trójkąty, których powierzchnie mają się do siebie tak jak boki kąta dzielonego dwusieczną
\frac{S_2}{S_3}=\frac{a}{\frac{1}{2}b}=\frac{2a}{b} \gr\ \ \Rightarrow\ S_2=\frac{2a}{b}S_3

podstawiając do \(^{*1}\) mamy
\frac{2a}{b}S_3+S_3=\frac{1}{2}S\gr\ \ \Rightarrow\ \bl S_3=\frac{b}{2(2a+b)}S\gr\ \ \Rightarrow\ S_2=\frac{2a}{b}\cdot\frac{b}{2(2a+b)}S  \gr\ \ \Rightarrow\ \bl S_2=\frac{a}{2a+b}S

z podziału trójkąta ABC\ dwusieczną mamy
\frac{S_1+S_2}{x+S_3}=\frac{a}{b}\gr\ \ \Rightarrow\ bS_1+bS_2=ax+aS_3\gr\ \ \Rightarrow\ b\(\frac{1}{2}S-x\)+b\cdot \frac{a}{2a+b}S=ax+a\cdot \frac{b}{2(2a+b)}S\ \ /\cdot 2(2a+b)\gr\ \ \Rightarrow\

\gr\ \ \Rightarrow\ b(2a+b)S-2b(2a+b)x+2abS=2a(2a+b)x+abS\gr\ \ \Rightarrow\ \re\fbox{\ x=\frac{b(3a+b)}{2(a+b)(2a+b)}S\ }\ \ \ \ :shifty:

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Kinia7

Kinia7

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 116 postów
3
Neutralny

Napisano 25.02.2012 - 08:02

Dziękuję






Partnerem technologicznym jest dhosting.pl      Współpracują z nami     PortalMatematyczny.pl